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Zur Quaternionenanalysis (voller Text) |
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| Erneute Differenzierbarkeitsdefinition: quaternionische Ableitungen im 4-1D Raum | ||
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Vielfalt hyperanalytischer Funktionen entgegen dem Mejlikhzhons Resultat |
1. Grundlegende Rolle des erweiterten Permanenzprinzips
Jeder, der die Theorie der stationären Felder, zum Beispiel, des
elektrostatischen Feldes oder des Feldes der Flüssigkeitsströmung [ 6 ] erlernte, wunderte sich darüber,
wie elegant und einfach mathematische Theorie der analytischen Funktionen (Funktionentheorie) einer
komplexen Variablen eine physikalische Realität der zweidimensionalen Felder beschreibt.
Es gibt, im Prinzip, keine ernsten Gründe , eine Möglichkeit der Existenz des gleichartigen mächtigen
mathematischen Apparats für Felder in dreidimensionalem Raum auszuschliessen , weil ein Raum aus
"Bestandteilen" - Ebenen besteht.
Ziemlich augenscheinlich ist dabei, dass alle Prinzipien und Formeln solcher Funktionentheorie im Raum (Quaternionenanalysis) mit entsprechenden Prinzipien und Formeln der existierenden Funktionentheorie einer komplexen Variablen in der Ebene ähnlich (isomorph ) sein müssen, zumal solche Ähnlichkeit zwischen jeder Ebene und ihren Bestandteilen - Geraden schon existiert. So, zum Beispiel, ist bekannt ([ 5 ],S.353) , daß jede analytische Funktion einer komplexen Variablen z = x + iy ein entsprechendes zweidimensionales elektrostatisches Feld darstellt und man solche Funktion erzeugt, wenn man eine differenzierbare Funktion f(x) einer reellen Variablen x betrachtet und dann eine komplexe Variable z = x + iy statt x hineinführt. Beispielsweise sind Funktionen sin(x+iy), exp(x+iy), (x+iy), (x+iy)-1, (x+iy)2,(x+iy)3 analytisch in allen Punkten z, wo sie nicht gegen Unendlich gehen. Hingegen, gibt es, leider, in vorliegenden zahlreichen Arbeiten (siehe z.B. Übersichten in [ 4 , 7,3,4 ]), die Verallgemeinerungen der Funktionentheorie auf den Fall der Quaternionen ( Quaternionenanalysis ) darlegen, weder den ähnlichen einfachen Algorithmus und die der physikalischen Realität adäquate quaternionische Differenzierbarkeitsdefinition, noch in vollem Maße Ideen der "isomorphen" Verallgemeinerung der Funktionentheorie ("isomorpher" Quaternionenanalysis), die ein erweitertes Permanenzprinzip ([ 2 ],S.156) in diesem Falle ausdrücken. Nämlich im Sinne der Ähnlichkeit der Formeln für Variablen und Differentialoperatoren verstehen wir weiter den Begriff "erweitertes Permanenzprinzip". Eine grundlegende Rolle spielt dabei die Darstellung von Variablen und Differentialoperatoren in der sog. verdoppelten Form (Caylay-Dickson-Verfahren).
Zum Ziel hat diese Arbeit eine Beseitigung von angegebener Lücke. Da wir vor allem prinzipielle Fragen betrachten möchten, werden wir im Rahmen dieses Artikels einige Fälle nicht detaillieren.
2. Ausgangsbegriffe der Quaternionenanalysis
Die erste Ausgangsposition besteht darin, dass die dreidimensionale Theorie ein stationäres Feld genau so wie die zweidimensionale nach dem erweiterten Permanenzprinzip beschreiben muss. Das stationäre Feld, im allgemeinen, kann man wie einen gespannten Zustand oder eine Deformation des Raumes vorstellen. Eine ähnliche Interpretation gilt in der komplexen Ebene. Den Grad dieser Deformation kann man als Verhältnis eines elementaren Abstands "dw" zweier naher Punkte im deformierten Raum zum entsprechenden Abstand "da" zweier derselben Punkte im Raum ohne Deformation beschreiben, d.h. als Quotient aus "dw 
da" . Daraus folgt, dass die für die Beschreibung der dreidimensionalen Felder passende, zu suchende Algebra eine normierte (mit euklidischem Längenmaß) und über eine algebraische Divisionsoperation verfügende Algebra sein muss. Nach dem Permanenzprinzprinz muss die zu suchende Algebra über ein Einselement verfügen, weil komplexe Zahlen über ein solches Einselement verfügen.
Unter einem Einselement versteht man [ 1,2 ] ein Element 1 dieser Algebra, das die Bedingungen 1·a=a·1=a und
a·a-1=a-1·a=1 erfüllt, wobei a ein beliebiges Element der Algebra ist und a-1 Inverses von a ( a 
0 ) bezüglich der Multiplikation ist.
Nach dem Satz von Hurwitz [ 1 ] ist jede normierte Algebra mit Einselement isomorph einer der vier Algebren: der reellen Zahlen (R), der komplexen Zahlen (C), der Quaternionen (H) oder der Oktaven (O). Diese Algebren sind Divisionsalgebren der Dimensionen 1,2,4, und 8 entsprechend. Daraus kann man sehen, dass zum unseren Zweck die Algebra der Dimension 4, d.h.die Algebra der Quaternionen H am besten passt, weil sie die nächste in dieser Folge zur Algebra komplexer Zahlen Algebra ist, die drei Dimensionen besitzt. Als eine andere Möglichkeit könnte Algebra der Oktaven betrachtet werden, aber wir wählen die einfachste aus. Hier muss betont werden, dass diese "vierdimensionale" Wahl notwendig ist, weil alle mögliche dreidimensionale Algebren keine eindeutige Divisionsoperation besitzen [ 1,2 ] und für sie diese Eindeutigkeit prinzipiell nicht erreichbar ist.
Also, gehen wir jetzt zur kurzen Darlegung der einigen [ 1,2 ] Eigenschaften der Quaternionen über, die wir im folgenden benötigen. Quaternionen erhält man dadurch, dass zu den reellen Zahlen nicht nur eine (wie bei den komplexen Zahlen), sondern drei imaginäre Einheiten hinzugefügt werden, die man mit i, j, k bezeichnet. So wird jede Quaternion a in der Form
(1) a = x0 + x1i + x2j + x3k
dargestellt, wobei x0,x1,x2,x3 reelle Zahlen ( "räumliche Koordinaten" ) sind und für imaginäre Einheiten folgende Multiplikationsregeln
(2) i2 = j2 = k2 = ijk = - 1;
(3) ij = - ji = k; jk = - kj = i; ki = - ik = j
gelten.
Die zu a konjugierte Quaternion 
wird
ähnlich den komplexen Zahlen (vgl. [ 6 ], S.2) durch den Ausdruck
(4) = x0 - x1i - x2j - x3k
definiert. In der komplexen Analyse gelten die entsprechenden Formeln : a = x0 + x1i
und = x0 - x1i .
Hier und im folgenden vergleichen wir quaternionische Formeln mit entsprechenden Formeln der komplexen Analyse , um die Gültigkeit des erweiterten Permanenzprinzips und folglich prinzipielle Möglichkeit der praktischen Anwendungen der vorgestellten Quaternionenanalysis zu betonen.
Jede, von Null verschiedene Quaternion a hat eine inverse Quaternion a-1 , die der Bedingung a·a-1 = a-1·a =1 genügt mit
(5) a-1 = ( | a | )2 ,
wobei 1 das obige Einselement ist , der Absolutbetrag |a| der Quaternion a als
definiert wird und hier und weiter eine Divisionsoperation bezeichnet.
Mit Ausnahme des Kommutativgesetzes der Multiplikation gelten für Quaternionen dieselben algebraischen Gesetze wie für komplexe Zahlen.
In engem Zusammenhang mit dem erweiterten Permanenzprinzip steht, unserer Meinung nach, die Darstellung der Quaternionen in der sogenannten verdoppelten [ 1 ] Form, die wir weiter als Basis der isomorphen Verallgemeinerung der Differenzierbarkeitsdefinition benutzen. Es handelt sich darum, dass die Form (1) unter Benutzung i j = k, (siehe (3)), als eine folgende Form dargestellt werden kann :
(7) a = (x0 + x1 i) + (x2 + x3 i) j = z1 + z2 j ,
wobei z1= x0 + x1 i und z2 = x2 + x3 i als komplexe Zahlen betrachtet werden können. Anders gesagt, drückt die Formel (7) einen Verdopplungsprozess (sog. Caylay-Dickson-Verfahren) der zweidimensionalen komplexen Zahlen aus, woraus sich die vierdimensionalen Quaternionen ergeben. Ebenso ergeben sich die komplexen Zahlen aus den reellen und Oktaven aus Quaternionen [ 1 ] , d.h. es gibt eine gemeinsame Formel der Darstellung der unabhängigen Variablen auf einer Gerade, in einer Ebene, in einem Raum, und zwar
(8) a = a1 + a2 j ,
wobei a1, a2 reelle Zahlen sind, wenn a eine komplexe Zahl darstellt, und a1, a2 komplexe Zahlen sind, wenn a eine Quaternion darstellt usw.
Ist b = b1 + b2j zweite, wie a beliebige, Quaternion, dann gelten folgende Regeln für Addition und Multiplikation :
(9) a + b = (a1 + a2 j) +( b1 + b2 j) = (a1 + b1) + (a2 + b2) j ,
(10) a·b = (a1 + a2 j)·(b1 + b2j) = (a1b1 - 
2a2) + (b2a1 + a21) j ,
wobei 1 und 2 entsprechend zu b1 und b2 konjugiert komplexe Zahlen [ 6 ] sind.
Diese Formeln ergeben sich nach der Addition und der Multiplikation von Quaternionen in der Form (1) unter Benutzung des Distributivgesetzes und der Multiplikationsregeln (2) und (3). Sie verwandeln sich auch in die üblichen Formeln für komplexe Zahlen, wenn komplexe Zahlen a1 , a2 , b1 ,b2 sich in reelle Zahlen verwandeln. Sind a,b Quaternionen, multiplizieren wir a1 , b1 , a2 , b2 miteinander in der Formel (10) nach den Multiplikationsregeln der komplexen Zahlen. Sind a,b komplexe Zahlen, dann erfüllen wir die Multiplikation dieser Grössen wie für reellen Zahlen. Unter anderen gelten für Quaternionen die folgenden wichtigen Identitäten:
(11) a· = ·a = ( |a| )2
(12) |a·b| = |a|·|b|,
(13) 
= · ,
(14) 
= + ,
(15) j·z = 
·j , für z 
C .
Ist c auch beliebige Quaternion, dann gilt für Quaternionen a,b,c das Assoziativgesetz der Multiplikation
(16) a (b c) = (a b) c.
Die Nicht-Kommutativität der Multiplikation für Quaternionen ergibt bei der Division, wenn eine beliebige Quaternion b H durch andere beliebige a H (a 0) geteilt wird, zwei voneinander verschidene Quotientenwerte XL und XR , die Lösungen der folgenden Gleichungen
(17) a·XL = b
(18) XR·a = b .
sind und der linke (XL = XL1 + XL2 j ) und der rechte (XR = XR1 + XR2 j) Quotientenwert heissen.
Die verallgemeinerten Hamiltonschen Operatoren 
(Nabla) und 
(Nablaquer) können nach dem erweiterten Permanenzprinzip in der Form (1) als
(19) = 
+ 
i + 
j + 
k ;
= - i - j - k
definiert werden (vgl.[ 2 ],S.166).
Wir betrachten nun, wie üblich in der Funktionentheorie , komplexe Differentialoperatoren in sogenannten (vgl. [ 6 ] , S.69) konjugiert komplexen Koordinaten
(20) z1 = x0 + x1 i ,
1 = x0 - x1 i
als
(21) 2 
= ( - i ) , 2 
= ( + i )
und analog in konjugiert komplexen Koordinaten
(22) z2 = x2 + x3 i ,
2 = x2 - x3 i
als
(23) 2 
= ( - i ) , 2 
= ( + i )
Mit den Formeln (21) und (23) können Hamiltonsche Operatoren (19) in der verdoppelten Form (8) als hyperkomplexe Differentialoperatoren
(24) = 2 ( + j ) ,
= 2 ( - j )
definiert werden. Als hyperkomplexe nennen wir hier und weiter alle Begriffe, die mit der Darstellungsform (8) in der quaterionalen Analyse verbunden sind . Im Rahmen unserer Aufgabe unterscheidet sich diese Definition des Hyperkomplexen von der üblichen . ( Vgl. [ 1 ]
Die Formeln (24) sehen ähnlich den analogen Formeln aus der komplexen Analyse (vgl. [ 6 ] , S.69) aus, was die Gültigkeit des erweiterten Permanenzprinzips in obigem Sinne noch mal, aber nun für Operatoren
und bestätigt.
Dieses und alle oben dargestellten Beispiele der Ähnlichkeit drücken, unserer Meinung nach, eine Einheit
der räumlichen Beziehungen der Umwelt aus. Wir erweitern diese Einsichten in die Ähnlichkeit im nächsten Abschnitt bezüglich abhängiger hyperkomplexer Variablen oder hyperkomplexer Funktionen.
Im weiteren kann man sehen, dass unsere verallgemeinenden Definitionen ( mit Unterschied von quaternionischen Besonderheiten ) fast genau entsprechende Definitionen aus der komplexen Analyse fraseologisch wiederholen .
3. Hyperkomplexe Differentiation und die Cauchy-Riemannschen Gleichungen in der Quaternionenanalysis
3.1 Hyperkomplexe Variablen und Funktionen.
Entspricht jedem Wert, den die unabhängige hyperkomplexe Variable a = z1 + z2 j annehmen kann, einer oder mehrere Werte anderer hyperkomplexen Variablen w = u + vj , dann sagen wir, w ist eine hyperkomplexe Funktion (abhängige Variable) von a, und schreiben in der verdoppelten Form
(25) w = w (a) = u (z1, z2) + v (z1, z2) j ,
wobei u (z1,z2) und v (z1,z2) komplexwertige Funktionen von unabhängigen komplexen Variablen z1 und z2 sind.
3.2 Hyperkomplexe Differenzierbarkeitsdefinition
Definition 1.
Ist w (a) eine in einem Gebiet G des Raumes der Quaternionen eindeutige Funktion, so ist die quaternionische Ableitung von w (a) definiert als
,
vorausgesetzt, dass der eindeutige Grenzwert in a G existiert und unabhängig von der Art ist, wie 
a gegen 0 geht (1) und wie der Zähler durch den Nenner geteilt wird, von links oder von rechts (2).
In diesem Fall sagen wir, dass w (a) in a differenzierbar ist.
Unter a versteht man , wie üblich, ein Inkrement für a.
In dieser Definition benutzen wir in verdoppelter Form a = z1 +z2 j ,
w = w (a + a) - w (a) = u + v j
und w' (a) = u' (a) + v' (a) j .
Also, wir haben die nötigen Ausgangsbegriffe und die Differenzierbarkeitsdefinition (26) im Quaternionischen ( gleich wie im Komplexen ) in der verdoppelten Form dargestellt, wodurch die ersten Forderungen des erweiterten Permanenzprinzips erfüllt sind .
Zum Unterschied von in der z-Ebene üblicher Differenzierbarkeitsdefinition ( nur Forderung (1) )
haben wir in der Definition (26) die zusätzliche Forderung ( (2) ) bezüglich der Divisionsart
eingeführt, um die nächste Forderung des erweiterten Permanenzprinzips zu erfüllen, und zwar die Möglichkeit der zwei verschiedenen (in einem Punkt a) quaternionischen Ableitungswerte w 'L(a)
und w 'R(a) zu beseitigen .
Diese Werte könnten nach den Divisionsgleichungen (17) und (18)
entstehen.
Nach dem erweiterten Permanenzprinzip muss man die eindeutige quaternionische Ableitung im Raum definieren, wenn die eindeutigen
Ableitungen in der komplexen Ebene und auf der Zahlengeraden definiert sind . Wäre dies nicht wahr, so würden wir einen Widerspruch zur physikalischen
Realität bekommen, weil in irgendeinem Punkt des Raumes eindeutiges physikalisches statisches Feld hätten,
wenn diesen Punkt als einen Bestandteil einer Ebene auffassen würden, und eine zweideutige Darstellung desselben
Feldes in demselben Punkt hätten, wenn wir ihn als einen Bestandteil des Raumes auffassen würden.
Hier ist die Hauptunterschied zu heitigen Grundlagen der Funktionentheorie im Raum, und zwar zum sog. [ 7 , S.99 ] "Mejlikhzhons Resultat", "das die quaternionische Differenzierbarkeitsdefinition (H-Holomorphie) mittels des Grenzwertes des Differenzenquotienten (26) ausschliesst ", weil "die Betrachtung der Differenzierbarkeit mittels des Differenzenquotienten tatsächlich nur zu trivialen Fällen führt". Wir zeigen im Abschnitt "Beispiele", wie man infolge des Mejlikhzhons Resultats einen Irrtum begeht und hingegen, wie die Hyperanalytizät aller Potenzen mit quaternionischer Basis in Wirklichkeit existiert .
3.3 Hyperanalytische Funktionen
Definition 2.
Existiert die quaternionische Ableitung w '(a) in allen Punkten a des Gebietes G, so heisst die Funktion w (a) hyperkomplex analytisch (regulär,holomorph) oder kurzum hyperanalytisch in G. Eine Funktion w (a) heisst hyperanalytisch im Punkt a0 , falls es irgendeine reelle Zahl d > 0 und eine Umgebung |a - a0| < d gibt, so dass in jedem Punkt dieser Umgebung w '(a) existiert.
3.4 Cauchy-Riemannsche Gleichungen in der Quaternionenanalysis
Erhalten wir nun die notwendigen Bedingungen dafür, dass w (a) hyperanalytisch in G ist.
Diese Bedingungen lassen sich detaillieren , wenn man das Verhältnis
w
a
aus (26) bei a 
0
unter Benutzung der Eindeutigkeitsbedingungen(1) und (2) analysiert .
Für jedes a 0
( während des Überganges a 0 )
ist w a
eine bestimmte eindeutige Quaternion XL = XL1+ XL2·j (bei Division von links)
oder XR= XR1+ XR2·j (bei Division von rechts), die durch (17) oder (18) entsprechend berechnet werden. Die Eindeutigkeit jedes Folgegliedes bei jeder ausgewählten Annäherungsart a 0
bedingt die Eindeutigkeit des entsprechenden Grenzwertes, wenn er existiert, d.h. die Eindeutigkeit der entsprechenden linksseitigen oder rechtsseitigen Ableitung.
Dies wird angenommen und wir betrachten nun die beiden Divisionsarten. Bei jeder dieser Arten verfügt im Rahmen des "Verdopplungsformalismus" die Annäherungsart a =
(z1 +z2 j)
0
auch über zwei (genauso wie im Komplexen) Möglichkeiten : ( Fall 1 ) a = z1
0 bei z2 = 0
und ( Fall 2 ) a = z2
· j 0 bei z1 = 0.
Insgesamt gibt es vier Varianten , die zu analysieren sind.
A) Die Division von links.
Fall 1 : Sei a = z1
0 bei z2 = 0.
In diesem Fall ( Variante LF1 ) unter Benutzung von (17) erhalten wir
(27)
z1 ( XL1.F1 + XL2.F1 j ) = u + v j .
Hier zeigt der zuzätzliche Index ".F1" darauf, dass der Fall 1 betrachtet wird. Mit der Hilfe des Distributivgesetzes und der Aufteilung in Teile mit " j " und ohne " j " ergeben sich die folgenden Ausdrücke:
(28)
XL1.F1 = u z1 ,
XL2.F1 = v z1 ,
wobei alle Grössen komplexwertig sind.
Der Übergang zum Grenzwert bei z1 0 in den Ausdrücken (28) liefert schliesslich
(29)
u'(a)LF1 = XL1.F1.lim = 
u z1,
v'(a)LF1 = XL2.F1.lim = v z1,
wobei der zusätzliche Index ".lim" Grenzwerte für XL1.F1 und XL2.F1 bezeichnet und der Index "LF1" der in (26) angeführten quaternionischen Ableitung w'(a) = u'(a) + v'(a)j die Bezeichnung der Variante LF1 zuschreibt. In Analogie hierzu verfahren wir im weiteren mit .lim, LF2, RF1, RF2.
Da alle Grössen in (28) und (29) komplexwertige sind und z2 während des Überganges
z1 0 konstant bleibt,
haben wir mit (29) übliche partielle Ableitungen ( z.B. u z1 ) von Funktionen u (z1, z2) und v (z1,z2) bezüglich z1
im Komplexen erhalten. Analog ergeben sich weiter die anderen partiellen Ableitungen von diesen Funktionen.
Lediglich verdient hier folgende Tatsache alle Beachtung . Die partiellen Ableitungen sind entsprechend (21) und (23), ohne Forderung an die Funktionen u und v, monogen zu sein, durch reelle partielle Ableitungen
, ,
,
definiert, wenn die letzten existieren und eindeutig sind. Die für diese reellen Ableitungen geltenden Rechenregeln sollen für die
komplexen (21) und (23) auch gelten.
Fall 2 : Sei a = z2
· j 0 bei z1 = 0.
In diesem Fall ( Variante LF2 ) unter Benutzung von (17) erhalten wir
(30)
z2 j ( XL1.F2 + XL2.F2 · j ) = u + v · j .
Mit der Hilfe von Distributivgesetz und Formeln (16), (15) und (2) verwandelt sich (30) in den Ausdruck
(31)
- z2 · 
L2.F2 +
z2 · L1.F2 · j
= u + v · j .
Der Vergleich der Teile ohne " j " und mit " j " beiderseits ergibt die folgenden Ausdrücke :
(32)
L1.F2 =
v z2 ,
L2.F2 = -
u z2 .
Wenn wir Ausdrücke (32) beiderseits komplex konjugieren ( unter Benutzung der Eigenschaften der komplexen Zahlen ) und dann zum Grenzwert z2
0 übergehen, so erhalten wir schliesslich
(33)
u'(a)LF2 = XL1.F2.lim = 
2 ;
v'(a)LF2 = XL2.F2.lim= - 
2 .
Also, wir haben bei Division von links zwei von der Annäherungsart a 0 abhängige quaternionische Ableitungen:
XL.F1.lim = XL1.F1.lim + XL2.F1.lim · j ;
XL.F2.lim = XL1.F2.lim + XL2.F2.lim · j .
Aber schon bei dieser Divisionsart ist w (a) nur dann (linksseitig) differenzierbar, wenn diese beiden quaternionischen Ableitungen (Grenzwerte) gleich sind . Daher sind das erste Paar der notwendigen Bedingungen dafür, dass w (a) hyperanalytisch ist :
(34)XL1.F1.lim = XL1.F2.lim = uL' ,
XL2.F1.lim = XL2.F2.lim = vL' ,
wobei uL' und vL' Bezeichnungen der Teile der sog. linksseitigen (vgl.[ 4 ] ) quaternionischen Ableitung wL'(a) sind, d.h.
(35)wL' (a) = uL' + vL' · j .
Die Formeln (34) unter Benutzung von (29) und (33) ergeben schliesslich das erste Paar der Gleichungen
(36)
( uL' = ) u z1 = 2,
( vL' = ) v z1 = - 2,
die man als linksseitige Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen im Raum benennen kann.
Wir benutzen hierbei dieselbe wie bei Division von links die Annäherungsarten
für a 0 und Umwandlungsregeln für die Formeln.
Fall 1. Sei a = z1
0 bei z2 = 0.
In diesem Fall ( Variante RF1 ) unter Benutzung von (18) erhalten wir
( XR1.F1 + XR2.F1 · j ) · z1 = u + v · j ,
woraus sich schliesslich ergibt
(37)
u'(a)RF1 = XR1.F1.lim = u z1 ,
v'(a)RF1 = XR2.F1.lim = v 1 .
Fall 2. Sei a = z2 · j 0
bei z1 = 0.
In diesem Fall ( Variante RF2 ) unter Benutzung von (18) erhalten wir
( XR1.F2 + XR2.F2 · j )z2 · j = u + v j .
Daraus ergibt sich
(38)
u'(a)RF2 = XR1.F2.lim = v z2 ,
v'(a)RF2 = XR2.F2.lim = - u 2 .
Also, wir haben bei Division von rechts auch zwei von der Annäherungsart a 0 abhängige Grenzwerte
XR.F1.lim = XR1.F1.lim + XR2.F1.lim · j ,
XR.F2.lim = XR1.F2.lim + XR2.F2.lim · j ,
die nach der Differenzierbarkeitsdefinition (26) auch gleich sein müssen. Dies ergibt die folgenden schliesslichen Ausdrücke :
(39)
( uR' = ) u z1 = v z2 ,
( vR' = ) v 1 = - u 2,
wobei uR' und vR' nun Teilbezeichnungen der rechtsseitigen quaternionischen Ableitung wR' (a) sind, und zwar
(40)wR' (a) = uR' + vR' · j.
Die Gleichungen (39) kann man als rechtsseitige Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen im Raum (siehe auch [4]) benennen. Alle Ableitungen in (36) und (39) sind, wie schon für (29) erwähnt, in der komplexen Analyse übliche, partielle Ableitungen, die als Ergebnisse der Anwendungen von Differentialoperatoren (21) und (23) auf Funktionen u (z1,z2) und v (z1,z2) betrachtet werden können. Wir setzen voraus, dass die existieren, weil dies für die Differenzierbarkeitsdefinition in hyperkomplexem Sinne notwendig ist.
Nach der Definition (26) nehmen wir nun an, dass der Ableitungswert (26) unabhängig von der obigen Divisionsarten ist. Dies bedeutet, dass die linksseitige quaternionische Ableitung (35) gleich der rechtsseitigen quaternionischen Ableitung (40) sein muss, d.h. uL' = uR' und vL' = vR' . Der Vergleich der Ausdrücke (36) und (39) zeigt, dass die erste dieser Bedingungen ohne irgendwelche zusätzliche Forderungen erfüllt wird . Die zweite Bedingung nach (36) und (39) verwandelt sich in die folgende :
(41)
vL' = v z1 = - 2
= vR' = v 1 = - u 2 .
Da v z1 =
v 1
erfüllt werden muss, gilt z1 = 1 , dass äquivalent z1= 1 ist.
Dies bedeutet, dass die Koordinate x1 in (7), (20) und anderen Ausdrücken verschwindet und wir notwendigerweise zum dreidimensionalen Raum übergehen müssen. Hiernach müssen Differentialoperatoren in (19), (21) und (24)
ohne x1
betrachtet werden, d.h. wir nehmen x1 = 0 weiter immer an, wenn z1= 1 angenommen wird.
Also die Existenz der eindeutigen quaternionischen Ableitung w' (a) = u'(a) + v'(a)· j bei u'(a) = uL'= uR' und v'(a) = vL'= vR' nach der Differenzierbarkeitsdefinition (26) fordert darauf, dass das gesamte System der differentialen Gleichungen :
1) u z1 = 2 ,
2) v z1 = - 2,
(42)( bei z1= 1 )
3) u z1 = v z2 ,
4) v 1 = - u 2,
u'(a) = ^
v '(a) = ^
bei dem Setzen von z1= 1 in die partiellen Ableitungen, erfüllt werden muss. Die Zeichen u'(a) = ^ und v ' (a) = ^ zeigen hier
darauf, dass jede partielle Ableitung aus Gleichungen 1) und 3) als u' (a) und jede Ableitung aus 2) und 4) als v '(a) für die Ableitungsberechnung, wenn w(a) hyperanalytisch ist, nach (26) benutzt werden kann.
Die Bedingung (41) bewirkt den Übergang zum dreidimensionalen Raum nicht nur für unabhängige Variable
a und Differentialoperatoren (21) , sondern auch für abhängige Variable w (a), was man aus folgendem sehen kann.
Nach (41) gilt für hyperanalytische Funktionen bei z1= 1 auch die Beziehung u 2 = 2 ,
woraus direkt u =
und dann u = folgen. Wir sehen, dass Punkte a des
dreidimensionalen ( bei z1= 1 ) Raumes mittels der differenzierbaren in diesen Punkten Funktionen w (a) in die
entsprechenden Punkte w = w (a) desselben dreidimensionalen Raumes abgebildet werden.
Anders gesagt, beobachtet man eine Abgeschlossenheit des dreidimensionalen Raumes bezüglih der
Transformationen mittels der hyperanalytischen Funktionen ähnlich der Abgeschlossenheit der komplexen Ebene
bei Transformationen mittels der analytischen Funktionen.
Das ist nichts Besonders, weil der Begriff Hyperanalytizität im Raum den Begriff Analytizität in der Ebene als einen besonderen Grenzfall enthält und die Gleichungen (42) sich nach dem erweiterten Permanenzprinzip in die übliche Cauchy-Riemannsche Gleihungen in der Ebene verwandeln, wenn wir weiter zum zweidimensionalen Raum, d.h. Ebene, übergehen. Um das zu zeigen, nehmen wir z2= 2 in Gleichungen (42) an, was zum Übergang zur komplexen Ebene a = z = x0 + x2 j führt. Wie man sehen kann, folgt aus (42) eine Identität 2 =
v z2. Daraus bei z2= 2 ergibt sich v = . Dies bedeutet, dass die Abgeschlossenheit des Raums in dem obigen Sinne während des Überganges zur Ebene erhalten bleibt, was dem erweiterten Permanenzprinzip entspricht.
Unter Benutzung von in der komplexen Analyse geübten Bezeichnungen x0 =
x , x2 = y und z = x + yj , sowie unter Berücksichtigung der Tatsache, dass die Grössen x,y,u,v hier reelle Zahlen sind, erhalten wir aus (42) bekannte Cauchy-Riemannsche Gleichungen in der Ebene:
(43)u x = v y
u y = - v x
Wenn wir jetzt G4 als ein beliebiges vierdimensionales Gebiet und G3 als entsprechendes dreidimensionales
Gebiet, das sich aus G4 bei z1= 1 ergibt, bezeichnen, dann können wir aus dem allen oben Dargestellten endlich die NOTWENDIGEN BEDINGUNGEN für die Existenz hyperanalytischer Funktionen formulieren :
Die notwendigen Bedingungen dafür, dass eine hyperkomplexe Funktion w = w(z1, z2) = u(z1, z2) + v(z1, z2)j in G3 hyperanalytisch ist, sind, dass u und v in G4
die eindeutigen ersten partiellen Ableitungen bezüglich
z1,z2 , 1, 2, besitzen (1) und diese Ableitungen bei z1= 1 die Gleichungen (42) erfüllen (2) .
Die Gleichungen (42) werden wir als CAUCHY-RIEMANNSCHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN IM RAUM auffassen.
Wir betrachten diese Definition immer nur im Zusammenhang mit notwendiger Bedingung
des Überganges z1= 1 ,
wenn partielle Ableitungen selbstverständlich von 1
abhängen .
Es sei extra betont, dass man hierbei die richtige Berechnungsfolge beachten soll, und zwar, zuerst berechnet man partielle Ableitungen in vierdimensionalem Raum und danach setzt man z1= 1 in denen und nur dann prüft,
ob sie das System (42) erfüllen. Wie es scheint , könnte man alles vereinfachen und die vierte quaternionische Dimension schon am Anfang bei der ersten Festlegung von w (a) unter Einsetzten von z1= 1 aus der Betrachtung ausschliessen und dann partielle Ableitungen berechnen u.s.w. Anders gesagt, könnte man diese Dimension überhaupt nicht betrachten, weil sie im Endergebnis verschwindet. Doch, die vierte quaternionische Dimension muss am Anfang erhalten bleiben, denn es ist unmöglich, ohne sie die eindeutige Division in (26) zu bestimmen und die eindeutige quaternionische Ableitung und entsprechend die Beschreibung statischen Feldes zur Folge zu haben.
In diesem Zusammenhang sei daran erinnert, dass in dreidimensionalem Raum keine eindeutige Divisionsoperation existiert.
Als vierte quaternionische Dimension diesen Anfang geschaffen hat, verschwiendet sie, indem sie die eindeutige physikalische Realität, und zwar statisches Feld im dreidimensionalen Raum " materialisiert ".
An diese Interpretation gleichklingend kommen in den Sinn unwillkürlich die folgenden geheimnisvollen Worte aus der Bibel [9,10,11] : "Denn seine unsichtbaren [Eigenschaften] werden seit Erschaffung der Welt deutlich gesehen, da sie durch die gemachten Dinge wahrgenommen werden..." [Römer 1:20] oder "... so dass das,was gesehen wird, aus Dingen geworden ist, die nicht in Erscheinung treten." [Hebräer 11:3].
4. Hyperanalytische Fortsetzung der analytischen Funktionen.
Hier kann man schon einen allgemeinen Satz formulieren, der als Satz über hyperanalytische Fortsetzung der analytischen Funktionen auf den dreidimensionalen Raum zu bezeichnen ist.
Satz 1.
Jede, in irgendeinem Gebiet G2 der komplexen Ebene definierte, analytische Funktion w (z) kann mittels des Ersetzens ihr komplexes Argument z = x0 + x2 j G2 durch hyperkomplexes a = x0+ x1 i + (x2 + x3 i) j = z1+ z2 j G4 auf das Gebiet G3 des dreidimensionalen Raumes als hyperanalytische Funktion w (a) fortgesetzt werden, wobei G2 G3 G4,
so dass G3 aus G4 bei z1= 1 und G2 aus G3 bei z2= 2 folgen.
Beweis . Wie sich oben bei der Betrachtung der Gleichungen (42) - (43) zeigt, ist eine, in irgendeinem Gebiet G4 gegebene, hyperkomplexe Funktion w(a)=u(a)+ v(a) j im Gebiet G3 hyperanalytisch (G3 aus G4 bei z1= 1 folgt), wenn u und v eindeutige erste partielle Ableitungen in G4 besitzen und diese bei z1= 1 , d.h. in G3 , die Gleichungen (42) erfüllen. Dies bedeutet, dass die Definition der hyperanalytischen Funktion aus hyperkomplexer stets mit dem Übergang z1= 1 , d. h. mit der Transformation des Funktionsarguments a = x0+ x1 i + (x2 + x3 i) j = z1+ z2 j G4 ins Argument a = x0+ (x2 + x3 i) j = x0+ z2 j G3 verbunden ist. Die weitere Transformation des Arguments a = x0+ (x2 + x3 i) j = x0+z2 j G3 ins Argument a = z = x0+ x2 j G2 während des Überganges z2= 2 ,
wie oben gezeigt, verwandelt diese hyperanalytische Funktion w (a) in die analytische Funktion w (z) .
Auf diese Weise entspricht jeder hyperanalytischen Funktion w (a) eindeutig eine derartige analytische Funktion w (z), weil jede analytsche Funkton w (z) aus
der entsprechenden hyperanalytischen Funktion w (a) folgt. Da dieser Vorgang der Transformation, anders gesagt, des Ersetzens der Argumente eineindeutig und umkehrbar ist und sich der Typ "w" der Funktion (Charakter der Abbildungsfunktion) während dieses Vorganges nicht ändert, ist diese Transformation der hyperanalytischen Funktionen in die analytischen auch eineindeutig, womit der Satz bewiesen ist. ¤
(1) Die mögliche Singularitäten von w (a) und w (z) innerhalb G4 , G3 und G2 wurden nicht betrachtet, vorausgesetzt, dass sie zu vermeiden sind. Aber Singularitätsprobleme brauchen eine nachfolgende Betrachtung.
(2) Der Ausdruck z = x0+ x2j G2 für Variable in der komplexen Ebene ist ganz äquivalent dem üblichen Ausdruck z = x + iy, weil Einheiten i und j die gleichen Eigenschaften, z.B. i2 = j2 = -1, haben. Der Unterschied von Schreibweisen drückt hier lediglich die Zusammenhänge der räumlichen Dimensionen aus.
(3) Aber man beachte , dass die komplexe Ebene z = x0+ x2 j allein im Unterschied zu Ebenen z1 = x0+ x1 i und z2 = x2 +x3 i die Analytizitätsbegriffe bzw. Cauchy-Riemannsche Gleichungen in der Ebene unbedingt verwirklichen soll. Deshalb gibt es hier keine Forderungen
u 1 = u 2
= v 1 = v 2
= 0 , die zugrunde dem üblichen Formalismus der Funktionentheorie mehrerer komplexen Variablen liegen (siehe z.B. [ 4 ] ). Wir benutzten für partielle Ableitungen nur diejenigen Berechnungsregeln, die aus der allgemeinen Differenzierbarkeitsdefinition als Limes des Differenzenquotienten folgen.
Also, der bewiesene Satz ergibt einen einfachen Algorithmus, mit dem man alle hyperanalytischen Funktionen aus den analytischen durch direktes Ersetzen von unabhängiger komplexer Variabler im Ausdruck der analytischen Funktion durch analoge hyperkomplexe Variable (ähnlich dem Übergang zwischen Gerade und komplexen Ebene) erhalten kann. Solche hyperanalytischen Funktionen können ebensoviel stationäre physikalische Felder im Raum wie die analytischen Funktionen in der Ebene darstellen. Wir begrenzen uns hier auf diese für die Beschreibung der stationären Felder im Raum prinzipiellen Ergebnisse.
5. Beispiele
Betrachten wir nun einige Beispiele der hyperanalytischen Funktionen im Raum, vorausgesetzt, dass oben formulierte notwendige Bedingungen ( 42 ) unter Annahme von Stetigkeit der Funktionen w (a) und deren partiellen Ableitungen hinreichende für Hyperanalytizät auch sind. Anders wäre es widersprüchlich zum erweiterten Permanenzprinzip und hier untersuchen wir es nicht. Als Basis betrachten wir analytische Funktionen aus komplexer Analyse und ersetzen einfach z = x + iy durch a = z1+ z2 j in diesen.
Beispiel 1.
Zuerst betrachten wir eine quaternionische Konstante w(a) = const ( z1 , z2 ). Sie ist hyperanalytisch
( alle Ableitungen sind gleich 0 ) und Gleichungen( 42 ) werden dabei direkt erfüllt , ohne den Übergang z1= 1 zu benutzen.
Betrachten wir nun die 1-te Potenz mit Basis a: w (a)= a1 = z1+ z2 j .
Dann haben wir u = z1 , v = z2 und
= 1 ,
= 2 . Partielle Ableitungen nach üblichen
Regeln sind für Gleichungen (42 - 1) und (42 - 3) u z1 = 1,
v z2 = 1 ,
2 = 1
und für Gleichungen (42 - 2) und (42 - 4) v z1 = 0 ,
- 2 = 0,
v 1 = 0,
- u 2 = 0. Man sieht, dass Gleichungen
(42) für die 1-te Potenz auch direkt erfüllt werden, ohne den Übergang z1= 1 zu benutzen .
Also die Funktion w (a) = a1 = x0+ x2 j + x3 k, (siehe (1), (7) unter Benutzung
von z1= 1 ) ist in dreidimensionalem Raum hyperanalytisch und ihre Ableitung ist w' (a) = = u'+ v'·j = u z1
+ v z1 ·j
= 1 + 0·j = 1, d.h. da /da = 1. Hierbei könnten, selbstveständlich, andere ausgerechnete Ableitungen, die u' und
v' gleich sind (nach (42)), benutzt werden, z.B. w' (a) = u'+ v'·j = v z2 -
2·j. Im folgenden werden wir statt
Bezeichnungen (42 - 1), (42 - 2) u.s.w. einfach Bezeichnungen 1), 2) usw. benutzen. Wie sich zeigt, ist die konjugiert hyperkomplexe
Funktion w (a) = = 1 -
z2j überall nicht-hyperanalytisch genau so wie die analoge Funktion w (z) = in der komplexen Analyse.
Zum "Mejlikhzhons Resultat".
Aus den ersten Potenzen und Konstanten ( "0-ten Potenzen" ) bestehen lineare Funktionen und sie sind nach dem sog. [ 7 ] "Mejlikhzhons Resultat" einzige holomorphe Funktionen,
wenn die Holomorphie über die Existenz des Grenzwertes des Differenzenquotienten ( gerade wie bei uns ) definiert wird.
Nach unserer Fassung sind aber diese Potenzen lediglich diejenige,die von z1 und 1
unabhängige Ableitungen besitzen,
und dabei erfüllen diese Ableitungen glücklicherweise direkt ( ohne Benutzung des "Eindeutigkeitsüberganges" z1= 1 )
Gleihungen (42) .
Für höhere Potenzen, deren Ableitungen schon von z1 und 1
abhängig sind, muss aber dieser Übergang benutzt werden, als
notwendige ( siehe (41), (42)) Bedingung dafür, dass die linksseitige Ableitung der rechtsseitigen im Definitionsbereich gleich ist .
Ohne Benutzung des Überganges z1= 1
kann man die vollwertige Eindeutigkeit der Differenzierbarkeit auf Grund des Grenzwertes
des Differenzenquotienten nur für Potenzen a0 und a1 erreichen.
Hier liegt wahrscheinlich der Schlüssel zur Würdigung des Mejlikhzhons Resultats .
Das Verfahren, das das Mejlikhzhons Resultat zu Folge hatte, stellte eine redundant
starke Forderung an die notwendigen Bedingungen der Differenzierbarkeitsdefinition. Es ist nicht unbedingt notwendig, die Identitäten für quaternionische Ableitungen nach den reellen Variablen
x0, x1, x2, x3, genauer nach den x0, x1i, x2j, x3k
zu bestimmen. Dem Verdopplungsformalismus gemäß kann man die notwendigen Identitäten für quaternionische Ableitungen nach den komplexen Variablen z1, z2, genauer nach z1, z2·j festlegen.
Zudem war das Verfahren nicht zu Ende geführt .
Die Eindeutigkeit der Ableitung wurde einzeln für linksseitige und einzeln für rechtsseitige Cauchy-Riemannsche
Gleichungen und, was unserer Meinung nach das Wichtigste ist, ohne Benutzung des "Verdopplungsformalismus" (Permanenzprinzips) formuliert. Und dann wurde das Verfahren der vollwertigen Differenzierbarkeitsdefinition
abgebrochen, und zwar wurde die von der Nicht-Kommutativität der Quaternionen unabhängige Eindeutigkeit der Ableitungen im vereinigten System ( 42 ) der
Cauchy-Riemannschen Gleichungen im Raum nicht verwirklicht .
Das vollendete Verfahren der vollwertigen Eindeutigkeitsdefinition im Rahmen des "Verdopplungsformalismus" ergibt sofort ganze Palette der im Raum differenzierbaren Funktionen .
Die physikalisch bedingten Forderungen adäquater Realitätsbeschreibung verursachen hier bessere schon vom Standpunkt der echten Mathematik aus Ergebnisse .
Davon überzeugen uns nachfolgende Beispiele und bewiesener Satz 2, wonach
alle Potenzfunktionen w = a N , n = 1,2,3,... eindeutig differenzierbar sind .
Beispiel 2. (Dem Mejlikhzhons Resultat entgegen!)
Sei w (a) = a2 = (z1+ z2 j)2, dann haben wir unter Benutzung von
(10) w(a) = (z12 - 2 z2 ) +
(z2z1 + z21 )j ,
woraus folgt u = z12 - 2 z2 und v = z2z1 + z21 ,
sowie = 12
- z2 2 und
= 12 +
z12 . Durch direkte Differentiation ergeben sich partielle Ableitungen: für 1) und 3) u z1 = 2z1 ,
v z2 = z1 + 1,
2 = 1 + z1
und für 2) und 4) v z1 = z2, - 2 = z2 ,
v 1 = z2 ,
- u 2 = z2 .
Man sieht, dass Gleichungen 2) und 4) sofort erfüllt sind. Unter Benutzung von z1= 1
ergeben sich u z1 =
v z2 =
2 = 2z1
und Gleichungen 1) und 3) werden auch erfüllt. Daraus folgt, dass w (a) = a2 = (x0+ x2 j + x3 k)2
in dreidimensionalem Raum hyperanalytisch ist und seine Ableitung w' (a) = u' + v'j = u z1 +
v z1 ·j = 2z1 + z2j = 2x0 + x2j + x3k ist.
Analog kann man zeigen, dass w(a) = a3 auch überall hyperanalytisch ist und für w(a) = a3 auch
u = bei z1= 1 gilt.
Beispiel 3.
Dieses Beispiel kann als Beweis des folgenden Satzes 2 betrachtet werden . Eigentlich braucht man diesen Satz nicht
zu beweisen, weil die Gültigkeit des Satzes 2 aus dem allgemeinen Satz 1 folgt. Wir stellen diesen Beispiel als Satz dar, um nun
das Irrtum des Mejlikhzhons Resultats direkt zu zeigen .
Satz 2.
Alle Potenzen mit quaternionischer Basis und natürlicher Hochzahl sind
differenzierbar ( hyperanalytisch ).
Beweis.
Sei w (a) = aN = (z1 + z2 j) N , wobei N eine beliebige natürliche Zahl ist.
Es ist zu zeigen , dass w (a) hyperanalytisch ist.
Wir wissen, dass für N =0,1,2,3
diese Behauptung zutrifft. Nach der vollständigen Induktionsmethode setzen wir voraus, dass w (a) = aN = u+ vj
den Gleichungen (42) genügt und zeigen daraus, dass b (a) = b1+ b2 j = aN·a = (u+ vj )·(z1+ z2 j ) die Gleichungen (42)
auch erfüllt.
Nach der Multiplikationsregel (10) ergibt sich b (a) = b1 + b2j = ( u z1 - 2v ) + ( z2 u + v 1 ) j, woraus
folgen b1= ( u z1 - 2v ) und b2 = ( z2 u + v 1 ) sowie konjugierte denen
1 = ( 1 - z2 )
und 2 = ( 2 + z1 ). Durch
direkte Berechnung erhalten wir die Ableitungen : b1 z1 =
z1· u z1 +
u - 2· v z1 ;
2 2 =
+ 2· 2
+ z1· 2 ;
b2 z1 =
z2· u z1 +
1· v z1 ;
- 1 2 =
- 1· 2
+ z2· 2 .
Daraus ist die Gleichung 1) für b (a) :
b1 z1 =
2 2 erfüllt,
weil u = (nach der Induktionsmethode) bei z1 = 1 und Gleichungen 1)
: u z1 = 2
und 2) : v z1 = - 2
nach Ausgangsvoraussetzungen auch erfüllt werden. Aus denselben Gründen ist die Gleichung
2) für b(a) : b2
z1 =
-
1
2 auch
erfüllt. Zum Beweis der Gültigkeit der Gleichungen 3) und 4) betrachten wir andererseits die gleichwertige Darstellungsform
für a (N +1) = a·aN = (z1+ z2 j ) (u + v j ), die aus dem Assoziativgesetzt der Multiplikation (16) folgt. Für dieselben
Funktionen b1 und b2 haben wir auch Ausdrücke
b1 = ( u z1 - z2 )
und b2 = ( z1 v + z2 )
sowie für Ableitungen
b1 z1 = z1· u z1
+ u - z2 · z1;
b2 z2
= z1· v z2
+ z2· z2
+ ;
b2
1 = z1· v 1
+ z2· 1 ;
- b1
2 = - z1·
u 2
+ z2· 2 .
Wenn Funktionen b1 und b2 die Gleichung 3) erfüllen,
d. h. b1 z1
= b2 z2 ,
so muss z1· u
z1 + u - z2· z1
= z1· v z2
+ z2·
z2 + gelten. Das ist
so, weil u = ,
u
z1 =
v
z2
(Gl. 3)) und
z1 = -
z2 (nach der Konjugation von 4))
bei z1 = 1
nach der Ausgangsvoraussetzung
für w = a N gelten. Hier zeigt sich, dass b (a) = a (N +1) die Gleichung 3) auch erfüllt.
Wenn b1 und b2 die Gleichung 4) erfüllen, d.h. b2
1 = -
b1
2 , so muss
z1· v
1
+ z2·
1 =
- z1· u
2 + z2·
2 gelten.
Dies gilt, weil v
1 = - u 2 (Gl. 4))
und 1
= 2
(nach der Konjugation von 3)) bei z1 = 1
nach der Voraussetzung auch gelten.
Die Gleichung 4) für b(a) = a (N +1) wird auch erfüllt. Schliesslich kann man behaupten, dass die Hyperanalytizät der
Funktion w(a) = a N , wobei N = 1,2,3,..., durch vollständige Induktion bewiesen ist. ¤
Wie oben gezeigt, bewirkt das Assoziativgesetzt (16)
im gegebenen Falle die Identität
b1 = u z1 - 2
v = u z1 - z2 und wir haben,
folglich, 2v = z2 sowie b1 =
1 bei z1 = 1 und
u = .
Beispiel 4.
Sei w ( a ) = u + v j = exp ( a ) = exp ( z1 + z2 j ), wobei
exp ( a ) eine Exponentialfunktion ist. Um die Hyperanalytizät dieser Funktion zu bestätigen,
müssen wir u und v als Funktionen von Variablen z1 und z2 darstellen. Anfänglich benutzen wir die Darstellung ( 1 ),
in der die Koordinaten reelle Zahlen sind, und zwar a = x0 + x1 i +x2 j +
x3 k = x0 + xVekt ( x0 und xVekt sind
sog. [ 7 ]
Skalar- und Vektorteile von a ).
Bekanntlich kann jede beliebige Quaternion a in der Form a = x0+ xe dargestellt werden
[ 1,7 ], wobei
x = | xVekt | = ( x12 + x22 + x32 )½
,
e = x-1( x1 i + x2 j + x3 k ) und
e2 = -1. Daraus ist ersichtlich, dass es für jede Quaternion a eine flache Darstellung gibt als
ob a eine komplexe Zahl in der komplexen Ebene mit den reellen Koordinaten x0 und x und einer imaginären Einheit e ist. Dann gilt die Formel w ( a ) = exp ( x0 + x·e ) = exp ( x0 )
· exp ( x·e ) und wir benutzen folglich bekannte Eulersche Formel w (a) = exp ( x0 ) · ( cos x + e·sin x ).
Nach Einsetzen vom
Ausdruck für e und Umformen unter Benutzung von i·j = k ( siehe ( 3 ) ) erhalten wir den folgenden Ausdruck w ( a ) = u + v · j =
exp ( x0 ) [ cos x + x1x-1 (sin x) i ] + [ x-1 exp ( x0 ) (sin x) (x2 + x3 i ) ] · j ,
woraus die Ausdrücke u = exp ( x0 ) · [ cos x + x1x-1 ( sin x ) i ]
und v = x-1 exp ( x0 ) ( sin x ) (x2 + x3 i ) folgen.
Ersetzen wir nun in diesen reelle Variablen durch komplexe nach den Formeln x0 =
2-1( z1 + 1 ) ,
x1 = ( 2i )-1( z1 - 1 ) ,
x2 = 2-1( z2 + 2 )
und x3 = ( 2i )-1 ( z2 - 2 ) ,
die aus (20) und (22) folgen. Dann bekommen wir schliesslich die folgenden gesuchten Ausdrücke
u = 2b[cos x + ( 2x )-1 ( z1 - 1 ) sin x ]
und v = 2b x-1 z2 sin x , wobei
x = [ z22 -
2-2( z1 - 1 )2 ]½
und b = 2-1 exp [ 2-1 ( z1 +
1 ) ] reelle Grössen sind.
Daraus folgt u =
bei z1= 1 .
Direkte Differentiation von u und v ergibt nach mühsamer Arbeit die folgenden Ausdrücke für Ableitungen:
u
z1 = b [ cos x + x-1( z1 - 1 )
sin x + x-1 sin x - 4-1x -3 ( z1 - 1 )
2 ( x cos x - sin x ) ] ;
v z2
= b [ 2x-1sin x + z2 2x-3( x cos x - sin x ) ] ;
2 = b [ 2x-1sin x +
2z2 x-3( xcos x - sin x ) ] ;
v
z1 = z2b [ x-1sin x -
( z1 - 1 ) 2-1x-3
( x cos x - sin x ) ] ;
- 2 = z2b [ x-1sin x +
( z1 - 1 )2-1x-2
(cos x - x-1sin x ) ] ;
v 1
= z2b [ x-1(sin x) + ( z1 - 1 ) 2-1x-3 ( x cos x - sin x ) ] ;
- u 2
= z2b [ x-1sin x - ( z1 - 1 )
2-1x-2 ( cos x - x-1sin x ) ] .
Daraus sieht man, dass die Funktion w (a) = exp (a) hyperanalytisch ist, weil sie bei z1= 1 = x0 die
Gleichungen ( 42) erfüllt, d.h.
1)
u
z1 =
2
= 2-1exp( z1)( cos |z2| + |z2|-1sin |z2| ) ,
2)
v
z1 = - 2
= 2-1 z2| z2|-1exp( z1) sin| z2| ,
3)
u
z1 = v z2
= 2-1 exp ( z1) ( cos| z2| + | z2|-1 sin| z2| ) ,
4)
v 1
= - u 2 =
2-1 z2 |z2|-1 exp(z1) sin|z2| ,
wobei z22 = |z2|2
nach (11) sowie x = |z2| und b = 2-1exp(x0) bei z1=
1 benutzt wurden.
Also, die Funktion w (a) = exp (x0 + x2 j + x3 k) besitzt im dreidimensionalen
Raum die Ableitung w'(a) = u' + v' j = u z1
+ v z1 · j
= 2-1·exp ( x0 ) · [ ( cos |z2| + |z2|-1 sin |z2| ) + x2 |z2|-1 sin |z2| · j + x3 |z2|-1 sin |z2| · k ] , wobei
|z2| = ( x22 + x32 )½ .
Würde man zuerst z1= 1 in u und v einsetzen, so hätte man die Ausdrücke
u = exp (z1) · cos |z2| und v = exp (z1)· z2|z2|-1 sin |z2| . Nach entsprechender Differentiation hätte man, zum
Beispiel, u z1
= exp ( z1) cos |z2| und v z2
= 2-1 exp (z1) [ cos |z2| + |z2|-1 sin |z2| ] , woraus ersichtlich
würde, dass die Gleichung 1) nicht erfüllt wird. Dies illustriert die Notwendigkeit der richtigen Berechnungsfolge.
Die im Beispiel 3. festgelegte Tatsache, dass alle Potenzfunktionen w = a N , N = 1,2,3,... hyperanalytisch sind, d. h. die notwendigen Gleichungen (42) erfüllen, liefert für nachfolgende Arbeiten einen guten Grund zur Definition der elementaren u.a. hyperanalytischen Funktionen mittels der Potenzreihen, wie es für analytische Funktionen, z. B. sin z, cos z u.a., gilt.
Aus der weiteren Entwicklung ergeben sich andere (4-1D) - Begriffe und Definitionen
und zwar Differentialoperatoren , 
, a, 
usw.,
das totale Differential dw(a, 
), hyperkomplexe harmonische Funktionen und Laplaceoperator im Quaternionischen,
eine Konzentrationseigenschaft (s. z.B. [5]) der Feldgleichungen in den Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen im Raum, das hyperkomplexe dreidimensionale Potential des statischen Feldes usw.
Die Darlegungsform dieses Abschnittes folgte der Darlegungsform der Lehrbücher [1,6], um die Einfachheit der entwickelten Vorstellungen zu zeigen.
Zudem wird hier mehr Klarheit erreicht, weil diese Verallgemeinerung die vorliegenden Lücken [2,3,7] und Fehler
erklärt und beseitigt. So, zum Beispiel, wurde in [4] eine ähnliche Verallgemeinerung der Differenzierbarkeitsdefinition
nur durch die rechtsseitige quaternionische Ableitung verwirklicht. Dabei wurde wahrscheinlch gemeint, dass die linksseitige Differenzierbarkeitsdefinition nur die linearen quaternionischen Funktionen als hyperanalytischen
ergeben kann. Es ist aber fehlerhaft, weil nach dem obigen Beispiel 3 alle quaternionische Potenzfunktionen w = aN , N = 1,2,3,... im Rahmen vorgestellter Verallgemeinerung über vollwertige quaternionische Ableitungen verfügen und
hyperanalytisch sind.
6. Differentialoperatoren, das totale Differential und Darstellung der statischen Felder im Raum
6.1 Differentialoperatoren und das totale Differential in der Quaternionenanalysis
Das Vorherige legt Gründe zum Versuch, die Anwendung der Differentialoperatoren und den Begriff des totalen Differentials im quaternionischen Raum nun vom Standpunkt der dargestellten Ansichten aus zu detaillieren. Dabei ist zu zeigen, dass hyperanalytische (holomorphe) Funktionen und ihre Ableitungen im Raum (genauso wie in der Ebene [ 5] ) die Gesetze divA = rotA = 0 (A - Feldvektor) physikalischer statischer Felder in sich "konzentrieren",
d.h. eine kompakte Schreibweise dieser Gesetzmäßigkeiten darstellen. Im weiteren wird eine kompaktere Schreibweise der partiellen Ableitungen und Differentialoperatoren, die den Definitionen von [ 7 ] entspricht, angewandt. So, z.B. wird statt der Bezeichnung u z1 die Bezeichnung
z1u verwendet.
Somit sind die quaternionischen Formeln (19), (21), (23), (24) wie folgt zu überschreiben:
(44) := x0 + x1 ·i + x2 ·j + x3 ·k ;
:= x0 - x1 ·i - x2 ·j - x3 ·k ;
(45)2 z1 := ( x0 - x1 ·i ) ;
2 
1 := ( x0 + x1 ·i ) .
(46)2 z2 := ( x2 - x3 ·i ) ;
2 2 := ( x2 + x3 ·i )
Unter Benutzung der in der komplexen Analysis gewohnten Differentialoperatoren (45) und (46) ergeben sich aus (44) quaternionische Differentialoperatoren [ 7 ] und in der verdoppelten Form :
(47) := := 2 ( 1 + 2 ·j ) ,
(48) := := 2 ( z1 - 2 ·j ).
Lücken in (44) usw. zwischen z.B. "" und ":=", "x0" und "+"oder "-", "x2" und "·j" sind Platzhalter, die durch entsprechende Funktionen bei der Anwendung des Differenzialoperators ( x0 usw. ) ersetzt werden.
Die CRD im Raum (42) haben mit den eingeführten Bezeichnungen das Aussehen :
1) z1u = 2 ,
2) z1v = - 2,
(49)( bei z1= 1 )
3) z1u = z2v ,
4) 1v = - 2u,
u'(a) = ^
v '(a) = ^
Wie bekannt [ 6,7 ] ist, gelten zwischen den komplexen Funktionen w = w(z, ) , wobei z = x + yi, und Differentialoperatoren = x - y ·i und
= x + y ·i mit z,
,w C und x,y R
folgende Beziehungen :
(50)1) zw = ½·w ,
2) w = ½·w ,
(50a)1) z = ½·( x - y ·i ) ,
2) = ½·( x + y ·i ) ,
wobei im Rahmen unserer verallgemeinerter Darstellung x = x0 und y = x2 sind.
Die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen in der Ebene (43) sind den Forderungen
(51)w = ½·w = 0
und
(51a)dw = ( w )d = 0 .
äquivalent. Somit läuft (s. z.B. S. 93 in [ 7 ] ) der lineare Ausdruck des totalen Differentials
(52)dw =
( zw )dz + ( w )d
auf die gewohnte Formel
(53)dw = (zw)dz
im Komplexen hinaus.
Wir können nun die Formeln (50), (51), (52) und (53) im Quaternionischen zu verallgemeinern versuchen.
Unter Berücksichtigung der Nichtkommutativität der Quaternionen kann man das totale Differential dw = dw(a, ) im quaternionischen Raum (a, H) anfänglich wie folgt darstellen:
(54)dw = ( a(re)w )·da + da·( a(li)w ) + ( (re)w )·d +
d·( (li)w ) ,
wobei Indizes (li) oder (re) entsprechend linksseitige oder rechtsseitige partielle Ableitungen von quaternionenwertigen Funktionen w(a, ) nach den zueinander konjugierten quaternionischen Variablen a = x0 + x1i + x2j + x3k = z1 + z2·j und
= x0 - x1i - x2j - x3k = 1 - z2·j kennzeichnen.
Die Formel (54) ist auch durch die Position der Differentialoperatoren links oder rechts von w wie folgt zu schreiben:
(54a)dw = ( wa )·da + da·( aw ) + ( w )·d +
d·( w ) .
Betrachten wir nun Resultate der linksseitigen und rechtsseitigen Anwendungen der Differentialoperatoren und auf die Funktion w = w(a, ). Diese Anwendungen laufen aufs "formale" Multiplizieren des jeweiligen Differentialoperators mit der Funktion w nach allgemeiner Formel (10)
hinaus. Der Bequemlichkeit halber führen wir hier diese Formel nochmals an :
(10) a·b = (a1 + a2·j)·(b1 + b2·j) = (a1b1 - 2a2) + (b2a1 + a21)·j .
Abhängig z. B. von relativer Lage des Differentialoperators = 2( z1 - 2 ·j) in Formel (10) (links oder rechts) werden a1 oder b1 durch z1 und
entsprechend a2 oder b2 durch - 2 beim Multiplizieren nach (10) ersetzt.
6.1.1 Differentialoperatoren und a
Nehmen wir a1 = z1, a2 = - 2, b1 = u, b2 = v in (10) an, dann
sieht die linksseitige Anwendung des Differentialoperators auf die Funktion w = u + vj wie folgt aus :
(55)w = 2( z1 - 2 ·j )·( u + v·j ) =
2[ (z1u +2 ) + ( z1v - 2 )·j ] .
Ist die Funktion w = w(z1, z2) = w(a, ) mit Werten in H links - hyperanalytisch ( links-H-holomorph [ 7 ] ) , dann genügt sie (meistens mit Forderung z1= 1 ) den linksseitigen Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen (CRD) ( 49-1 ) und (49-2).
Daraus ergeben sich mögliche Vereinfachungen des Ausdrucks (55):
(56)w =
2( 2z1u + 2z1v·j ) = 4 a(li)w ,bei z1= 1
oder
(56a)w = 2( 22 - 22·j ) = 4 a(li)w ,bei z1= 1
oder andere zwei Kombinationen für aw = u'(a) + v'(a)·j mit linksseitigen partiellen Ableitungen u'(a) und v'(a) aus (49-1) und 49-2). Die angeführte Festlegung der linksseitigen Ableitung aw wurde oben geäußert.
Ähnlich kann man das Resultat rechtsseitiger Anwendung des Differentialoperators auf die Funktion w = u + vj wie folgt darstellen :
(57)w = ( u + v·j )·2( z1 - 2 ·j ) =
2[ (z1u + z2v) + (- 2u + 1v )·j ]
Ist die Funktion w rechts - hyperanalytisch ( rechts-H-holomorph ) , dann genügt sie (meistens mit Forderung z1= 1 ) den rechtsseitigen CRD ( 49-3 ) und (49-4).
Daraus ist die folgende Vereinfachung des Ausdrucks (57) zu betrachten:
(58)w = 2( 2 z1u + 2 1v·j ) = 4a(re)w ,bei z1= 1
Nach der obigen Definition der hyperanalytischen Funktion muss die linksseitige Ableitung a(li)w der rechtsseitigen a(re)w nach dem Übergang z1= 1 gleich sein, was wirklich stattfindet. Wie unschwer zu erkennen ist, ist die Ableitung 1v aus (58) bei z1= 1 gleich der Ableitung z1v aus (56),
woraus man folgende Identitäten schreiben kann :
(59)w 
4a(li)w 4 a(re)w w 4( z1u + z1v·j ) 4aw .
Die eingeführte Bezeichnung zeigt hier und im weiteren darauf, dass
der links von diesem Zeichen liegende Teil des Ausdruckes dem jeweiligen rechten Teil des Ausdruckes gleich nach dem Setzen z1= 1 in denen ist. Dabei werden die verallgemeinerten Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen im Raum (49) berücksichtigt. Das bedeutet, dass die mit dem Zeichen bezeichnete Gleichung wird nach dem Übergang zum dreidimensionalen (4-1D) quaternionischen Raum erfüllt.
Zum Unterschied von diesem Zeichen werden die Gleichungen mit dem gewohnten Zeichen " = " immer, d.h. ohne Bedingung
z1= 1, erfüllt.
Aus (59) ergibt sich im dreidimensionalen quaternionischen Raum eine von der Nicht-Kommutativität der Quaternionen unabhängige weitere Definitionsformel für die Ableitungen der hyperanalytischen Funktionen nach der quaternionischen Variablen a :
(60)aw : ¼·w ,
die der Darstellung der Ableitungen im Komplexen, und zwar der Formel (50-1) ähnlich ist.
Wir benutzen in (60) eine für die kommutativen Operationen gewohnte "linksseitige" Schreibung der Differentialoperatoren a und , weil bei z1= 1 die Gleichungen aw : a(re)w a(li)w und w w gelten und der Unterschied zwischen den linksseitigen und rechtsseitigen Ableitungen nicht mehr existiert.
Aus diesem Grund ist der vom a abhängige Teil daw = ( a(re)w )·da + da·( a(li)w ) des totalen Differentials (54) soz. "linksseitig" wie im Komplexen darstellbar:
(61)daw (aw)·da .
Der Differentialoperator a kann auf Grund der Formeln (48) und (60) weiter wie folgt dargestellt werden:
(62)a ¼· = ½·( z1 - 2 ·j ) ½·( x0 - 2 ·j ) ,
wobei der Übergang z1= 1 ( entspricht dem Zeichen ) erst nach der Anwendung des Differentialoperators auf die konkrete Funktion w = w(z1, z2) im Quaternionischen zu verwenden ist.
Bei einer weiteren Forderung z2 = 2 geht (62) in die komplexe Form z = ½·( x0 - x2·j ) über und ist die Operationsfolge nicht wichtig.
6.1.2 Differentialoperatoren und
Nach der Festlegung der Formel (61) und (62) bleibt es noch den von abhängigen restlichen Teil des totalen Differentials (54) zu detaillieren. Dazu ist es notwendig, den partiellen Differentialoperator im Quaternionischen als eine Verallgemeinerung des komplexen partiellen Differentialoperators = ½ (x + y ·i ) zu bestimmen.
Da und z konjugierte Differentialoperatoren im Komplexen sind, muss der gesuchte Differentialoperator zum Differentialoperator a im Quternionischen auch konjugiert sein, d.h. muss = a gelten.
Diese Folgerung und (62) verursachen eine folgende Definition des partiellen Differentialoperators :
(63) :=
¼ = ½·( 1 + 2 ·j ).
Fordert man z1= 1 und weiter z2 = 2, so
geht (63) in die komplexe Form = ½·( x0 + x2·j ) über, was dem erweiterten Permanenzprinzip entspricht und auch die Definition (63) rechtfertigt.
Es sei gesagt, dass der Differentialoperator als eine Basis der Verallgemeinerung des komplexen partiellen Differentialoperators in [ 7 ], S. 101 betrachtet wird.
Betrachten wir nun den vom abhängige Teil des totalen Differentials (54), und zwar
(64)dw = ( (re)w )·d + d·( (li)w )
Analog zum Fall des Differentialoperators lässt sich auch im Falle des Differentialoperators verfahren. Bei der linksseitigen oder rechtsseitigen Anwendung des Differentialoperators auf eine quaternionenwertige Funktion w = u + v·j ergeben sich aus (47) und (10) folgende Ausdrücke :
(65)w = 2 ( 1 + 2 ·j ) ( u + v·j ) = 2 [ (1u - 2) + (1v + 2)·j ]
(66)w = ( u + v·j ) 2 ( 1 + 2 ·j ) = 2 [ (1u - z2v) + (2u + z1v)·j ] .
Diese Formeln und (63) ergeben folgende Definitionen für die linksseitige und die rechtsseitige Ableitung von w nach :
(67) (li)w := ¼w = ½[ (1u - 2) + (1v + 2)·j ] ,
(68) (re)w := ¼w = ½[ (1u - z2v) + (2u + z1v)·j ] .
Wenn w = w(a, ) hyperanalytisch ist, d.h. den Gleichungen (49) genügt, so gelten bei z1=1 und entsprechend bei z1 = 1 die folgenden Identitäten: nach (49-1) 1u = z1u = 2,
nach (49-2) 1v = z1v = - 2, nach (49-3) 1u = z1u = z2v und nach (49-4) z1v = 1v = - 2u.
Nach dem Einsetzen von diesen Identitäten in (67) und (68) ist ersichtlich, dass für hyperanalytische Funktionen w = w(a, ) folgende Forderungen, die den Forderungen (51) und (51a) im Komplexen ähnlich sind, gelten :
(69)w : (li)w (re)w 0 ,
(69a)dw (w)·d 0 ,
wobei (69a) unter Benutzung von (69) aus (64) logisch folgt.
Hiernach und auf Grund der Formeln (54), (54a), (61) ist das totale Differential (54) sowie (54a) hyperanalytischer Funktionen im 4-1D quaternionischen Raum in der der komplexen Formel (52) ähnlichen Form
(70)dw (aw)·da + (w)·d
darstellbar und läuft auf die der komplexen Formel (53) ähnliche Formel
(71)dw (aw)·da
hinaus bei der Bedingung der Hyperanalytizität (H-Holomorphie)
(72)w 0 .
die der Bedingung (51) im Komplexen ganz ähnlich ist.
Genauso wie im Komplexen (siehe (51), (43)) ist im Quaternionischen die Bedingung (72) den verallgemeinerten Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen im Raum (49) äquivalent.
Es sei darauf hingewiesen, dass sich im Rahmen des hier dargestellten Zuganges zur Differenzierbarkeitsdefinition in der Quaternionenanalysis einfachere Lösungen ergeben können.
Es scheint nicht unbedingt notwendig zu sein, andere (statt a) "hilfreiche" Variablen, z.B. Fueter-Variablen (siehe [ 7 ], S. 102) oder in H andere (statt (10)), z. B. kommutative Multiplikationsregeln (siehe [ 7 ], S. 107) zu verwenden, um die Gleichungen x = 0 , w = 0 und w = 0 zu erfüllen.
Für hyperanalytische (H-holomorphe) Funktionen w = w(a, ), z. B. w = a (siehe Beispiel 1.), werden diese Gleichungen soz. "automatisch" nach (67), (68), (69) erfüllt.
Zur Verdeutlichung des Zeichens kann man auch sagen, dass die Nicht-Kommutativität der Quaternionen als Zahlen durch soz. eine formale "Versetzung" der Nicht-Kommutativität in den Bereich der Differentialoperationen (die Operationsfolge ist wichtig) bei obiger Differenzierbarkeitsdefinition überwunden wird. Diese "Versetzung" gilt nur in Zusammenhang mit den Differentialoperatoren und ist wie folgt zu illustrieren. Führen wir einen nicht-differentialen Operator 
1 ein,
dessen Wirkung auf irgendeinen mathematischen Ausdruck darin besteht, dass in diesem Ausdruck z1= 1 angenommen wird und nach Möglichkeit die CRD (49) berücksichtigt werden , so gibt es die Regel: dieser Operator kann nur aufs Ergebnis der vorherigen Anwendung des Differentialoperators angewandt werden. So, zum Beispiel, sind bei der linksseitigen Anwendung der Operatoren die Operationsfolgen 1, 1 und 1a richtig und 1,
1 und
a1 falsch. Offensichtlich stellt dies eine eigenartige Nicht-Kommutativität dar. Bei der rechtsseitigen Anwendung der Operatoren gelten die analogen Operationsfolgen der obigen Regel gemäß in umgekehrter Richtung.
So, zum Beispiel, hat die Gleichung (49-1) das Aussehen 1) 1z1u = 12 , ohne die Phrase "bei z1= 1" dabei zu schreiben.
Unter Verwendung von ähnlicher Bezeichnung sind die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen im quaternionischen Raum (49) endlich wie folgt umzuschreiben:
1) z1u 2 ,
2) z1v - 2,
(73)
3) z1u z2v ,
4) 1v - 2u,
Die Formeln (66), (65) und (73) erlauben, die auf der Seite 103 des Buches [ 7] angeführte Formulierung der rechts- bzw. links-H-Holomorphie der Funktion f(x) , und zwar die Formel
f = 0 bzw. f = 0 ,
wobei x, f(x) H hier andere Bezeichnungen für a und w sind,
weiter als
(74)f1 = 0 = 1f
oder als
(75)f 0 f
zu verallgemeinern und unabhängig von der Nicht-Kommutativität der Quaternionen darzustellen .
Die Gleichungen (73), (74) und (75) sind gleichwertig, jede von denen nennen wir Verallgemeinerte Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen im Raum (in H).
6.2 Darstellung der statischen Felder im Raum
++++++++++ In Bearbeitung ++++++++++++
© 2007. Michael Parfenov.  parfenm@gmx.de |
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