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Zur quaternionischen Differenzierbarkeitsdefinition (2) |
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| Beispiele quaternionischer Ableitungen im 4-1D (dreidimwnsionalen) Raum | ||
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Vielfalt hyperanalytischer Funktionen entgegen dem Mejlikhzhons Resultat | Seite: 1 2 |
5. Beispiele (entgegen dem Mejlikhzhons Resultat)
Betrachten wir nun einige Beispiele der hyperanalytischen Funktionen im 4-1D Raum, vorausgesetzt, dass oben formulierte notwendige Bedingungen (CRD im Raum) unter Annahme von Stetigkeit der quaternionischen Funktionen w (a) und deren partiellen Ableitungen auch für Hyperanalytizität hinreichend sind. Anders wäre es widersprüchlich zum erweiterten Permanenzprinzip und hier untersuchen wir es nicht. Als Basis betrachten wir analytische Funktionen aus komplexer Analyse und ersetzen einfach z = x + iy durch a = z1+ z2 j in diesen.
Beispiel 1.
Zuerst betrachten wir eine quaternionische Konstante w(a) = const ( z1 , z2 ). Sie ist hyperanalytisch
(alle partiellen Ableitungen sind gleich 0) und Gleichungen (CRD im Raum) werden dabei direkt erfüllt , ohne den Übergang z1= 
1 zu benutzen.
Betrachten wir nun die 1-te quaternionische Potenz mit Basis a: w (a)= a1 = z1+ z2 j .
Dann haben wir u = z1 , v = z2 und 
= 1 , 
= 2 . Partielle Ableitungen nach üblichen
Regeln sind für Gleichungen (CRD im Raum- 1) und (CRD im Raum- 3) 
u 
z1 = 1,
v z2 = 1 ,
2 = 1
und für Gleichungen (CRD im Raum- 2) und (CRD im Raum- 4) v z1 = 0 ,
- 2 = 0,
v 1 = 0,
- u 2 = 0. Man sieht, dass Gleichungen
(CRD im Raum) für die 1-te quaternionische Potenz auch direkt erfüllt werden, ohne den Übergang z1= 1 zu benutzen.
Also die quaternionische Funktion w (a) = a1 = x0+ x2 j + x3 k, (bei z1= 1 ) ist in dreidimensionalem Raum hyperanalytisch und ihre quaternionische Ableitung ist w' (a) = = u'+ v'·j = u z1
+ v z1 ·j
= 1 + 0·j = 1, d.h. da /da = 1. Hierbei könnten, selbstverständlich, andere ausgerechnete partielle Ableitungen, die u' und
v' gleich sind (nach (CRD im Raum)), benutzt werden, z.B. w' (a) = u'+ v'·j = v z2 -
2·j. Im folgenden werden wir statt
Bezeichnungen (CRD im Raum- 1), (CRD im Raum- 2) u.s.w. einfach Bezeichnungen 1), 2) usw. benutzen. Wie sich zeigt, ist die konjugiert hyperkomplexe quaternionische
Funktion w (a) = 
= 1 -
z2j überall nicht-hyperanalytisch genau so wie die analoge Funktion w (z) = in der komplexen Analyse.
Zum "Mejlikhzhons Resultat" .
Aus den ersten quaternionischen Potenzen und Konstanten ( "0-ten quaternionischen Potenzen" ) bestehen lineare quaternionische Funktionen und sie sind nach dem sog. [ 7 ] "Mejlikhzhons Resultat" einzige holomorphe quaternionische Funktionen,
wenn die Holomorphie über die Existenz des Grenzwertes des Differenzenquotienten ( gerade wie bei uns ) definiert wird.
Nach unserer Fassung sind aber diese quaternionischen Potenzen lediglich diejenigen, die von z1 und 1
unabhängige Ableitungen besitzen. Diese partiellen Ableitungen
erfüllen Gleichungen (CRD im Raum) glücklicherweise direkt, d.h. ohne Benutzung des "Eindeutigkeitsüberganges" z1= 1 .
Für höhere quaternionische Potenzen, deren partielle Ableitungen schon von z1 und 1
abhängig sind, muss aber dieser Übergang benutzt werden, als
notwendige ( siehe (CRD im Raum)) Bedingung dafür, dass die linksseitige quaternionische Ableitung der rechtsseitigen im Definitionsbereich gleich ist .
Ohne Benutzung des Überganges z1= 1
kann man die vollwertige Eindeutigkeit der Differenzierbarkeitsdefinition auf Grund des Grenzwertes
des Differenzenquotienten nur für quaternionische Potenzen a0 und a1 erreichen.
Hier liegt wahrscheinlich der Schlüssel zur Würdigung des Mejlikhzhons Resultats .
Das Verfahren, das das Mejlikhzhons Resultat zu Folge hatte (siehe z.B. [7]), stellte eine redundant
starke Forderung an die notwendigen Bedingungen der Differenzierbarkeitsdefinition.Es ist nicht unbedingt notwendig, die Identitäten für quaternionische Ableitungen nach den reellen Variablen
x0, x1, x2, x3, genauer nach den x0, x1i, x2j, x3k
zu bestimmen. Dem Verdopplungsformalismus gemäß kann man die notwendigen Identitäten für quaternionische Ableitungen nach den komplexen Variablen z1, z2, genauer nach z1, z2·j festlegen.
Zudem war das Verfahren der vollwertigen Eindeutigkeitsdefinition nicht zu Ende geführt .
Die Eindeutigkeit der Ableitung wurde einzeln für linksseitige und einzeln für rechtsseitige Cauchy-Riemannsche
Gleichungen und ohne Benutzung des "Verdopplungsformalismus" (Permanenzprinzips), der für die adäquatere quaternionische Verallgemeinerung des Komplexen wichtig ist, bestimmt. Danach wurde das Verfahren der vollwertigen Differenzierbarkeitsdefinition
abgebrochen, und zwar wurde die von der Nicht-Kommutativität der Quaternionen unabhängige Eindeutigkeit der Ableitungen im Raum nicht verwirklicht .
Das vollendete Verfahren der vollwertigen Eindeutigkeitsdefinition im Rahmen des "Verdopplungsformalismus" ergibt sofort eine ganze Palette der im Raum differenzierbaren Funktionen .
Die physikalisch bedingten Forderungen adäquater Realitätsbeschreibung verursachen hier bessere schon vom Standpunkt der Mathematik aus Ergebnisse .
Davon überzeugen uns nachfolgende Beispiele und bewiesener Satz 2, wonach
alle Potenzfunktionen w = a N, n = 1,2,3,... eindeutig differenzierbar sind .
Eine einfache Erklärung für die erreichte Vielfalt der holomorphen quaternionischen Funktionen im Vergleich zum Mejlikhzhons Resultat folgt aus einer grundlegenden Konzeption des Buches [ 7 ], S. 98. Sie besagt: "Die Erhöhung der Dimension bringt eine noch größere Freiheit des Arguments mit sich, so dass für die Existenz obiger Grenzwerte" (der Differenzenquotienten) "die Erfüllung eines weitaus restriktiverer Systems von Differentialgleichungen zu erwarten ist." Ebenso stellen die Gleichungen (*) usw. dieses Buches (S. 99, 100) ein im 4-dimensionalen Quaternionischen maximal restriktives System dar, das das Mejlikhzhons Resultat zu Folge hat. Die Verminderung der quaternionischen Dimension bis 3 (=4-1) wegen der notwendigen Eindeutigkeitsbedingung z1= 1 bringt ein weniger restriktives System der obigen Differentialgleichungen (CRD im Raum) mit sich, was schon eine Vielfalt der analytischen Funktionen im 3-dimensionalen Quaternionischen im Vergleich zum Mejlikhzhons Resultat im 4-dimensionalen Quaternionischen ergibt.
Dieser Zugang verneint nicht das Mejlikhzhons Resultat, er entgeht gerechtfertigt seinem Geltungsbereich und führt auf eine reellere Verallgemeinerung der komplexen Differenzierbarkeitsdefinition auf Grund der Grenzwerte der Differenzenquotienten.
Es sei gesagt, dass die in dieser Arbeit angeführten Worte "Irrtum des Mejlikhzhons Resultats", "dem Mejlikhzhons Resultat entgegen" usw. nur zur Betonung der Ungültigkeit des Mejlikhzhons Resultats im 3-dimensionalen quaternionischen, d.h. im wirklichen
Raum dienen.
Alle folgenden Beispiele sind dem Mejlikhzhons Resultat zuwider!
Beispiel 2.
Sei w (a) = a2 = (z1+ z2 j)2, dann hat man nach der Multiplikationsregel
w(a) = (z12 - 2 z2 ) +
(z2z1 + z21 )j ,
woraus u = z12 - 2 z2 und v = z2z1 + z21 ,
sowie = 12
- z2 2 und
= 12 +
z12 folgen. Durch direkte Differentiation ergeben sich partielle Ableitungen: für 1) und 3) u z1 = 2z1,
v z2 = z1 + 1,
2 = 1 + z1
und für 2) und 4) v z1 = z2, - 2 = z2,
v 1 = z2 ,
- u 2 = z2 .
Man sieht, dass Gleichungen 2) und 4) sofort erfüllt sind. Unter Benutzung von z1= 1
ergeben sich u z1 =
v z2 =
2 = 2z1
und Gleichungen 1) und 3) werden auch erfüllt. Daraus folgt, dass die Funktion w (a) = a2 = (x0+ x2 j + x3 k)2
in dreidimensionalem Raum (nach dem Übergang z1= 1 ) hyperanalytisch ist und ihre quaternionische Ableitung w' (a) = u' + v'j = u z1 +
v z1 ·j = 2z1 + z2j = 2x0 + x2j + x3k ist.
Analog kann man zeigen, dass w(a) = a3 auch überall hyperanalytisch ist und für w(a) = a3 auch
u = bei z1= 1 gilt.
Beispiel 3.
Dieses Beispiel kann als Beweis des folgenden Satzes 2 betrachtet werden . Eigentlich braucht man diesen Satz nicht zu beweisen, weil die Gültigkeit des Satzes 2 aus dem allgemeinen Satz 1 folgt. Wir stellen dieses Beispiel als Satz dar, um nun das Irrtum des Mejlikhzhons Resultats direkt zu zeigen .
Satz 2. Alle quaternionischen Potenzen mit quaternionischer Basis und natürlicher Hochzahl sind differenzierbar (hyperanalytisch).
Beweis. Sei w (a) = aN = (z1 + z2 j) N , wobei N eine beliebige natürliche Zahl ist. Es ist zu zeigen , dass w (a) hyperanalytisch ist. Wir wissen, dass für N =0,1,2,3 diese Behauptung zutrifft. Nach der vollständigen Induktionsmethode setzen wir voraus, dass w (a) = aN = u+ vj den Gleichungen (CRD im Raum) genügt und zeigen daraus, dass b (a) = b1+ b2 j = aN·a = (u+ vj )·(z1+ z2 j ) die Gleichungen (CRD im Raum) auch erfüllt.
Nach der Multiplikationsregel ergibt sich b (a) = b1 + b2j = ( u z1 - 2v ) + ( z2 u + v 1 ) j, woraus
folgen b1= ( u z1 - 2v ) und b2 = ( z2 u + v 1 ) sowie konjugierte denen
1 = ( 1 - z2 )
und 2 = ( 2 + z1 ). Durch
direkte Berechnung erhalten wir die Ableitungen : b1 z1 =
z1· u z1 +
u - 2· v z1 ;
2 2 =
+ 2· 2
+ z1· 2 ;
b2 z1 =
z2· u z1 +
1· v z1 ;
- 1 2 =
- 1· 2
+ z2· 2 .
Daraus ist die Gleichung 1) für b (a) :
b1 z1 =
2 2 erfüllt,
weil u = (nach der Induktionsmethode) bei z1 = 1 und Gleichungen 1)
: u z1 = 2
und 2) : v z1 = - 2
nach Ausgangsvoraussetzungen auch erfüllt werden. Aus denselben Gründen ist die Gleichung
2) für b(a) : b2
z1 =
-
1
2 auch
erfüllt. Zum Beweis der Gültigkeit der Gleichungen 3) und 4) betrachten wir andererseits die gleichwertige Darstellungsform
für a (N +1) = a·aN = (z1+ z2 j ) (u + v j ), die aus dem Assoziativgesetzt der Multiplikation folgt. Für dieselben
Funktionen b1 und b2 haben wir auch Ausdrücke
b1 = ( u z1 - z2 )
und b2 = ( z1 v + z2 )
sowie für Ableitungen
b1 z1 = z1· u z1
+ u - z2 · z1;
b2 z2
= z1· v z2
+ z2· z2
+ ;
b2
1 = z1· v 1
+ z2· 1 ;
- b1
2 = - z1·
u 2
+ z2· 2 .
Wenn Funktionen b1 und b2 die Gleichung 3) erfüllen,
d. h. b1 z1
= b2 z2 ,
so muss z1· u
z1 + u - z2· z1
= z1· v z2
+ z2·
z2 + gelten. Das ist so, weil u = , u
z1 = v
z2
(Gl. 3)) und
z1 = -
z2 (nach der Konjugation von 4)) bei z1 = 1 nach der Ausgangsvoraussetzung
für w = a N gelten. Hier zeigt sich, dass b (a) = a (N +1) die Gleichung 3) auch erfüllt. Wenn b1 und b2 die Gleichung 4) erfüllen, d.h. b2
1 = -
b1 2 , so muss
z1· v
1
+ z2·
1 =
- z1· u
2 + z2·
2 gelten.
Dies gilt, weil v
1 = - u 2 (Gl. 4))
und 1
= 2
(nach der Konjugation von 3)) bei z1 = 1
nach der Voraussetzung auch gelten.
Die Gleichung 4) für b(a) = a (N +1) wird auch erfüllt. Schliesslich kann man behaupten, dass die Hyperanalytizität der quaternionischen
Funktion w(a) = a N , wobei N = 1,2,3,..., durch vollständige Induktion bewiesen ist. Wie oben gezeigt, bewirkt das Assoziativgesetzt
im gegebenen Falle die Identität
b1 = u z1 - 2
v = u z1 - z2 und wir haben,
folglich, 2v = z2 sowie b1 =
1 bei z1 = 1 und
u = .
Beispiel 4.
Sei w ( a ) = u + v j = exp ( a ) = exp ( z1 + z2 j ), wobei
exp ( a ) eine Exponentialfunktion ist. Um die Hyperanalytizität dieser quaternionischen Funktion zu bestätigen,
müssen wir u und v als komplexe Funktionen von Variablen z1 und z2 darstellen. Anfänglich benutzen wir die Darstellung,
in der die Koordinaten reelle Zahlen sind, und zwar a = x0 + x1 i +x2 j +
x3 k = x0 + xVekt ( x0 und xVekt sind
sog. [ 7 ]
Skalar- und Vektorteile von a ).
Bekanntlich kann jede beliebige Quaternion a in der Form a = x0+ xe dargestellt werden
[ 1,7 ], wobei
x = | xVekt | = ( x12 + x22 + x32 )½
,
e = x-1( x1 i + x2 j + x3 k ) und
e2 = -1. Daraus ist ersichtlich, dass es für jede Quaternion a eine flache Darstellung gibt als
ob a eine komplexe Zahl in der komplexen Ebene mit den reellen Koordinaten x0 und x und einer imaginären Einheit e ist. Dann gilt die Formel w ( a ) = exp ( x0 + x·e ) = exp ( x0 )
· exp ( x·e ) und wir benutzen folglich bekannte Eulersche Formel w (a) = exp ( x0 ) · ( cos x + e·sin x ).
Nach Einsetzen vom Ausdruck für e und Umformen unter Benutzung von i·j = k ( Seite 1: Multiplikationsregeln ) erhalten wir den folgenden Ausdruck w ( a ) = u + v · j =
exp ( x0 ) [ cos x + x1x-1 (sin x) i ] + [ x-1 exp ( x0 ) (sin x) (x2 + x3 i ) ] · j ,
woraus die Ausdrücke u = exp ( x0 ) · [ cos x + x1x-1 ( sin x ) i ]
und v = x-1 exp ( x0 ) ( sin x ) (x2 + x3 i ) folgen.
Ersetzen wir nun in diesen reelle Variablen durch komplexe nach den Formeln x0 =
2-1( z1 + 1 ) ,
x1 = ( 2i )-1( z1 - 1 ) ,
x2 = 2-1( z2 + 2 )
und x3 = ( 2i )-1 ( z2 - 2 ) ,
die aus den Formeln für die konjugiert komplexen Koordinaten folgen. Dann bekommen wir schliesslich die folgenden gesuchten Ausdrücke
u = 2b[cos x + ( 2x )-1 ( z1 - 1 ) sin x ]
und v = 2b x-1 z2 sin x , wobei
x = [ z22 -
2-2( z1 - 1 )2 ]½
und b = 2-1 exp [ 2-1 ( z1 +
1 ) ] reelle Grössen sind.
Daraus folgt u =
bei z1= 1 .
Direkte Differentiation von u und v ergibt nach mühsamer Arbeit die folgenden Ausdrücke für Ableitungen:
u
z1 = b [ cos x + x-1( z1 - 1 )
sin x + x-1 sin x - 4-1x -3 ( z1 - 1 )
2 ( x cos x - sin x ) ] ;
v z2
= b [ 2x-1sin x + z2 2x-3( x cos x - sin x ) ] ;
2 = b [ 2x-1sin x +
2z2 x-3( xcos x - sin x ) ] ;
v
z1 = z2b [ x-1sin x -
( z1 - 1 ) 2-1x-3
( x cos x - sin x ) ] ;
- 2 = z2b [ x-1sin x +
( z1 - 1 )2-1x-2
(cos x - x-1sin x ) ] ;
v 1
= z2b [ x-1(sin x) + ( z1 - 1 ) 2-1x-3 ( x cos x - sin x ) ] ;
- u 2
= z2b [ x-1sin x - ( z1 - 1 )
2-1x-2 ( cos x - x-1sin x ) ] .
Daraus sieht man, dass die quaternionische Funktion w (a) = exp (a) hyperanalytisch ist, weil sie bei z1= 1 = x0 die
Gleichungen ( CRD im Raum ) erfüllt, d.h.
1)
u
z1 =
2
= 2-1exp( z1)( cos |z2| + |z2|-1sin |z2| ) ,
2)
v
z1 = - 2
= 2-1 z2| z2|-1exp( z1) sin| z2| ,
3)
u
z1 = v z2
= 2-1 exp ( z1) ( cos| z2| + | z2|-1 sin| z2| ) ,
4)
v 1
= - u 2 =
2-1 z2 |z2|-1 exp(z1) sin|z2| ,
wobei die Identität z22 = |z2|2
sowie x = |z2| und b = 2-1exp(x0) bei z1=
1 benutzt wurden.
Also, die quaternionische Funktion w (a) = exp (x0 + x2 j + x3 k) besitzt im dreidimensionalen
Raum die quaternionische Ableitung w'(a) = u' + v' j = u z1
+ v z1 · j
= 2-1·exp ( x0 ) · [ ( cos |z2| + |z2|-1 sin |z2| ) + x2 |z2|-1 sin |z2| · j + x3 |z2|-1 sin |z2| · k ] , wobei
|z2| = ( x22 + x32 )½ .
Würde man zuerst z1= 1 in u und v einsetzen, so hätte man die Ausdrücke
u = exp (z1) · cos |z2| und v = exp (z1)· z2|z2|-1 sin |z2| . Nach entsprechender Differentiation hätte man, zum
Beispiel, u z1
= exp ( z1) cos |z2| und v z2
= 2-1 exp (z1) [ cos |z2| + |z2|-1 sin |z2| ] , woraus ersichtlich
würde, dass die Gleichung 1) nicht erfüllt wird. Dies illustriert die Notwendigkeit der richtigen Berechnungsfolge.
Die im Beispiel 3. festgelegte Tatsache, dass alle Potenzfunktionen w = a N , N = 1,2,3,... hyperanalytisch sind, d. h. die notwendigen Gleichungen (CRD im Raum) erfüllen, liefert für nachfolgende Arbeiten einen guten Grund zur Definition der elementaren (und anderen) hyperanalytischen Funktionen mittels der Potenzreihen, wie es für analytische Funktionen, z. B. sin z, cos z u.a., gilt.
Aus der weiteren Entwicklung ergaben sich weitere (4-1D) - Begriffe und Definitionen
und zwar eine Konzentrationseigenschaft der Feldgleichungen, hyperkomplexe harmonische Funktionen, Gradient, Divergenz,
Laplaceoperator, das hyperkomplexe dreidimensionale Potential des statischen Feldes usw.
In naher Zukunft sind diese hier anzuführen.
Die Darlegungsform dieses Abschnittes folgte der Darlegungsform der Lehrbücher [1,6], um die Einfachheit der entwickelten Vorstellungen zu zeigen.
Zudem wird hier mehr Klarheit erreicht, weil diese Verallgemeinerung die vorliegenden Lücken und Fehler
erklärt und beseitigt. So, zum Beispiel, wurde in [4] eine ähnliche Verallgemeinerung der Differenzierbarkeitsdefinition
nur durch die rechtsseitige quaternionische Ableitung verwirklicht. Dabei wurde wahrscheinlich aufgrund der
vorliegenden Arbeiten gemeint, dass die linksseitige Differenzierbarkeitsdefinition nur die linearen quaternionischen Funktionen als hyperanalytischen
ergeben kann. Es ist aber fehlerhaft, weil nach dem obigen Beispiel 3 alle quaternionische Potenzfunktionen w = aN , N = 1,2,3,... im Rahmen vorgestellter Verallgemeinerung über vollwertige (beiderseitige) quaternionische Ableitungen verfügen und
hyperanalytisch sind.
© 2007. Michael Parfenov.  parfenm@gmx.de |
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