Anfang
Zur quaternionischen Differenzierbarkeitsdefinition (2)
 Beispiele quaternionischer Ableitungen im 4-1D (dreidimwnsionalen) Raum
Seiten-Navigation  Vielfalt hyperanalytischer Funktionen entgegen dem Mejlikhzhons Resultat  Seite: 1 2


5. Beispiele (entgegen dem Mejlikhzhons Resultat)

Betrachten wir nun einige Beispiele der hyperanalytischen Funktionen im 4-1D Raum, vorausgesetzt, dass oben formulierte notwendige Bedingungen (CRD im Raum) unter Annahme von Stetigkeit der quaternionischen Funktionen w (a) und deren partiellen Ableitungen auch für Hyperanalytizität hinreichend sind. Anders wäre es widersprüchlich zum erweiterten Permanenzprinzip und hier untersuchen wir es nicht. Als Basis betrachten wir analytische Funktionen aus komplexer Analyse und ersetzen einfach z = x + iy durch a = z1+ z2 j in diesen.

Beispiel 1.

Zuerst betrachten wir eine quaternionische Konstante w(a) = const ( z1 , z2 ). Sie ist hyperanalytisch (alle partiellen Ableitungen sind gleich 0) und Gleichungen (CRD im Raum) werden dabei direkt erfüllt , ohne den Übergang z1Bild mathematischen Zeichens1 zu benutzen.

Betrachten wir nun die 1-te quaternionische Potenz mit Basis a: w (a)= a1 = z1+ z2 j .
Dann haben wir u = z1 , v = z2 und Bild mathematischen Zeichens  = Bild mathematischen Zeichens1 , Bild mathematischen Zeichens = Bild mathematischen Zeichens2 . Partielle Ableitungen nach üblichen Regeln sind für Gleichungen (CRD im Raum- 1) und (CRD im Raum- 3)   Bild mathematischen ZeichensBild mathematischen Zeichens Bild mathematischen Zeichensz1 = 1, Bild mathematischen ZeichensBild mathematischen Zeichens Bild mathematischen Zeichensz2 = 1 , Bild mathematischen ZeichensBild mathematischen Zeichens Bild mathematischen Zeichens Bild mathematischen ZeichensBild mathematischen Zeichens2 = 1 und für Gleichungen (CRD im Raum- 2) und (CRD im Raum- 4)  Bild mathematischen ZeichensBild mathematischen Zeichens Bild mathematischen Zeichensz1 = 0 , - Bild mathematischen ZeichensBild mathematischen Zeichens Bild mathematischen Zeichens Bild mathematischen ZeichensBild mathematischen Zeichens2 = 0, Bild mathematischen ZeichensBild mathematischen Zeichens Bild mathematischen ZeichensBild mathematischen Zeichens1 = 0, - Bild mathematischen ZeichensBild mathematischen Zeichens Bild mathematischen ZeichensBild mathematischen Zeichens2 = 0. Man sieht, dass Gleichungen (CRD im Raum) für die 1-te quaternionische Potenz auch direkt erfüllt werden, ohne den Übergang z1Bild mathematischen Zeichens1 zu benutzen.

Also die quaternionische Funktion w (a) = a1 = x0+ x2 j + x3 k, (bei  z1Bild mathematischen Zeichens1 ) ist in dreidimensionalem Raum hyperanalytisch und ihre quaternionische Ableitung ist w' (a) = = u'+ v'·j =  Bild mathematischen ZeichensBild mathematischen Zeichens Bild mathematischen Zeichensz1Bild mathematischen ZeichensBild mathematischen Zeichens Bild mathematischen Zeichensz1 ·j = 1 + 0·j = 1, d.h. da /da = 1. Hierbei könnten, selbstverständlich, andere ausgerechnete partielle Ableitungen, die u' und v' gleich sind (nach (CRD im Raum)), benutzt werden, z.B. w' (a) = u'+ v'·j =  Bild mathematischen ZeichensBild mathematischen Zeichens Bild mathematischen Zeichensz2 -   Bild mathematischen ZeichensBild mathematischen Zeichens Bild mathematischen Zeichens Bild mathematischen ZeichensBild mathematischen Zeichens2·j. Im folgenden werden wir statt Bezeichnungen (CRD im Raum- 1), (CRD im Raum- 2) u.s.w. einfach Bezeichnungen 1), 2) usw. benutzen. Wie sich zeigt, ist die konjugiert hyperkomplexe quaternionische Funktion w (a) = Bild mathematischen Zeichens = Bild mathematischen Zeichens1 - z2j überall nicht-hyperanalytisch genau so wie die analoge Funktion w (z) = Bild mathematischen Zeichens in der komplexen Analyse.

Zum "Mejlikhzhons Resultat" . Aus den ersten quaternionischen Potenzen und Konstanten ( "0-ten quaternionischen Potenzen" ) bestehen lineare quaternionische Funktionen und sie sind nach dem sog. [ 7 ] "Mejlikhzhons Resultat" einzige holomorphe quaternionische Funktionen, wenn die Holomorphie über die Existenz des Grenzwertes des Differenzenquotienten ( gerade wie bei uns ) definiert wird.
Nach unserer Fassung sind aber diese quaternionischen Potenzen lediglich diejenigen, die von z1 und  Bild mathematischen Zeichens1  unabhängige Ableitungen besitzen. Diese partiellen Ableitungen erfüllen Gleichungen (CRD im Raum) glücklicherweise direkt, d.h. ohne Benutzung des "Eindeutigkeitsüberganges" z1Bild mathematischen Zeichens1 .

Für höhere quaternionische Potenzen, deren partielle Ableitungen schon von z1 und  Bild mathematischen Zeichens1  abhängig sind, muss aber dieser Übergang benutzt werden, als notwendige ( siehe (CRD im Raum)) Bedingung dafür, dass die linksseitige quaternionische Ableitung der rechtsseitigen im Definitionsbereich gleich ist . Ohne Benutzung des Überganges  z1Bild mathematischen Zeichens1  kann man die vollwertige Eindeutigkeit der Differenzierbarkeitsdefinition auf Grund des Grenzwertes des Differenzenquotienten nur für quaternionische Potenzen a0 und a1 erreichen.

Hier liegt wahrscheinlich der Schlüssel zur Würdigung des Mejlikhzhons Resultats . Das Verfahren, das das Mejlikhzhons Resultat zu Folge hatte (siehe z.B. [7]), stellte eine redundant starke Forderung an die notwendigen Bedingungen der Differenzierbarkeitsdefinition.Es ist nicht unbedingt notwendig, die Identitäten für quaternionische Ableitungen nach den reellen Variablen x0, x1, x2, x3, genauer nach den x0, x1i, x2j, x3k zu bestimmen. Dem Verdopplungsformalismus gemäß kann man die notwendigen Identitäten für quaternionische Ableitungen nach den komplexen Variablen z1, z2, genauer nach z1, z2·j festlegen. Zudem war das Verfahren der vollwertigen Eindeutigkeitsdefinition nicht zu Ende geführt . Die Eindeutigkeit der Ableitung wurde einzeln für linksseitige und einzeln für rechtsseitige Cauchy-Riemannsche Gleichungen und ohne Benutzung des "Verdopplungsformalismus" (Permanenzprinzips), der für die adäquatere quaternionische Verallgemeinerung des Komplexen wichtig ist, bestimmt. Danach wurde das Verfahren der vollwertigen Differenzierbarkeitsdefinition abgebrochen, und zwar wurde die von der Nicht-Kommutativität der Quaternionen unabhängige Eindeutigkeit der Ableitungen im Raum nicht verwirklicht .

Das vollendete Verfahren der vollwertigen Eindeutigkeitsdefinition im Rahmen des "Verdopplungsformalismus" ergibt sofort eine ganze Palette der im Raum differenzierbaren Funktionen . Die physikalisch bedingten Forderungen adäquater Realitätsbeschreibung verursachen hier bessere schon vom Standpunkt der Mathematik aus Ergebnisse . Davon überzeugen uns nachfolgende Beispiele und bewiesener Satz 2, wonach alle Potenzfunktionen w = a N, n = 1,2,3,... eindeutig differenzierbar sind .

Eine einfache Erklärung für die erreichte Vielfalt der holomorphen quaternionischen Funktionen im Vergleich zum Mejlikhzhons Resultat folgt aus einer grundlegenden Konzeption des Buches [ 7 ], S. 98. Sie besagt: "Die Erhöhung der Dimension bringt eine noch größere Freiheit des Arguments mit sich, so dass für die Existenz obiger Grenzwerte" (der Differenzenquotienten) "die Erfüllung eines weitaus restriktiverer Systems von Differentialgleichungen zu erwarten ist." Ebenso stellen die Gleichungen (*) usw. dieses Buches (S. 99, 100) ein im 4-dimensionalen Quaternionischen maximal restriktives System dar, das das Mejlikhzhons Resultat zu Folge hat. Die Verminderung der quaternionischen Dimension bis 3 (=4-1) wegen der notwendigen Eindeutigkeitsbedingung z11 bringt ein weniger restriktives System der obigen Differentialgleichungen (CRD im Raum) mit sich, was schon eine Vielfalt der analytischen Funktionen im 3-dimensionalen Quaternionischen im Vergleich zum Mejlikhzhons Resultat im 4-dimensionalen Quaternionischen ergibt.

Dieser Zugang verneint nicht das Mejlikhzhons Resultat, er entgeht gerechtfertigt seinem Geltungsbereich und führt auf eine reellere Verallgemeinerung der komplexen Differenzierbarkeitsdefinition auf Grund der Grenzwerte der Differenzenquotienten. Es sei gesagt, dass die in dieser Arbeit angeführten Worte "Irrtum des Mejlikhzhons Resultats", "dem Mejlikhzhons Resultat entgegen" usw. nur zur Betonung der Ungültigkeit des Mejlikhzhons Resultats im 3-dimensionalen quaternionischen, d.h. im wirklichen Raum dienen.

Alle folgenden Beispiele sind dem Mejlikhzhons Resultat zuwider!

Beispiel 2. 

Sei w (a) = a2 = (z1+ z2 j)2, dann hat man nach der Multiplikationsregel w(a) = (z12 - Bild mathematischen Zeichens2 z2 ) + (z2z1 + z2Bild mathematischen Zeichens1 )j  , woraus u = z12 - Bild mathematischen Zeichens2 z2  und  v = z2z1 + z2Bild mathematischen Zeichens1 , sowie  Bild mathematischen Zeichens  =  Bild mathematischen Zeichens12 - z2 Bild mathematischen Zeichens2  und   Bild mathematischen Zeichens = Bild mathematischen Zeichens1Bild mathematischen Zeichens2 + z1Bild mathematischen Zeichens2 folgen. Durch direkte Differentiation ergeben sich partielle Ableitungen: für 1) und 3) Bild mathematischen ZeichensBild mathematischen Zeichens Bild mathematischen Zeichensz1 = 2z1, Bild mathematischen ZeichensBild mathematischen Zeichens Bild mathematischen Zeichensz2 = z1 + Bild mathematischen Zeichens1, Bild mathematischen ZeichensBild mathematischen Zeichens Bild mathematischen Zeichens Bild mathematischen ZeichensBild mathematischen Zeichens2 = Bild mathematischen Zeichens1 + z1 und für 2) und 4) Bild mathematischen ZeichensBild mathematischen Zeichens Bild mathematischen Zeichensz1 = z2, - Bild mathematischen ZeichensBild mathematischen Zeichens Bild mathematischen Zeichens Bild mathematischen ZeichensBild mathematischen Zeichens2 = z2, Bild mathematischen ZeichensBild mathematischen Zeichens Bild mathematischen ZeichensBild mathematischen Zeichens1 = z2 , -  Bild mathematischen ZeichensBild mathematischen Zeichens Bild mathematischen ZeichensBild mathematischen Zeichens2 = z2 . Man sieht, dass Gleichungen 2) und 4) sofort erfüllt sind. Unter Benutzung von  z1Bild mathematischen Zeichens1  ergeben sich   Bild mathematischen ZeichensBild mathematischen Zeichens Bild mathematischen Zeichensz1 = Bild mathematischen ZeichensBild mathematischen Zeichens Bild mathematischen Zeichensz2 = Bild mathematischen ZeichensBild mathematischen Zeichens Bild mathematischen Zeichens Bild mathematischen ZeichensBild mathematischen Zeichens2 = 2z1 und Gleichungen 1) und 3) werden auch erfüllt.  Daraus folgt, dass die Funktion w (a) = a2 = (x0+ x2 j + x3 k)2 in dreidimensionalem Raum (nach dem Übergang z1Bild mathematischen Zeichens1 ) hyperanalytisch ist und ihre quaternionische Ableitung w' (a) = u' + v'j =  Bild mathematischen ZeichensBild mathematischen Zeichens Bild mathematischen Zeichensz1 +  Bild mathematischen ZeichensBild mathematischen Zeichens Bild mathematischen Zeichensz1 ·j = 2z1 + z2j = 2x0 + x2j + x3k ist.  Analog kann man zeigen, dass  w(a) = a3  auch überall hyperanalytisch ist und für  w(a) = a3  auch   u = Bild mathematischen Zeichens  bei  z1Bild mathematischen Zeichens1 gilt.

Beispiel 3.

Dieses Beispiel kann als Beweis des folgenden Satzes 2 betrachtet werden . Eigentlich braucht man diesen Satz nicht zu beweisen, weil die Gültigkeit des Satzes 2 aus dem allgemeinen Satz 1 folgt. Wir stellen dieses Beispiel als Satz dar, um nun das Irrtum des Mejlikhzhons Resultats direkt zu zeigen .

Satz 2.    Alle quaternionischen Potenzen mit quaternionischer Basis und natürlicher Hochzahl sind differenzierbar (hyperanalytisch).

Beweis.    Sei w (a) = aN = (z1 + z2 j) N , wobei N eine beliebige natürliche Zahl ist. Es ist zu zeigen , dass w (a) hyperanalytisch ist. Wir wissen, dass für N =0,1,2,3 diese Behauptung zutrifft. Nach der vollständigen Induktionsmethode setzen wir voraus, dass w (a) = aN = u+ vj den Gleichungen (CRD im Raum) genügt und zeigen daraus, dass b (a) = b1+ b2 j = aN·a = (u+ vj )·(z1+ z2 j ) die Gleichungen (CRD im Raum) auch erfüllt.

Nach der Multiplikationsregel ergibt sich  b (a) = b1 + b2j = ( u z1 - Bild mathematischen Zeichens2v ) + ( z2 u + v Bild mathematischen Zeichens1 ) j, woraus folgen b1= ( u z1 - Bild mathematischen Zeichens2v ) und b2 = ( z2 u + v Bild mathematischen Zeichens1 ) sowie konjugierte denen Bild mathematischen Zeichens1 = ( Bild mathematischen Zeichens Bild mathematischen Zeichens1 - z2 Bild mathematischen Zeichens ) und Bild mathematischen Zeichens2 = ( Bild mathematischen Zeichens2 Bild mathematischen Zeichens + Bild mathematischen Zeichens z1 ). Durch direkte Berechnung erhalten wir die Ableitungen :  Bild mathematischen Zeichensb1 Bild mathematischen Zeichens Bild mathematischen Zeichensz1 = z1· Bild mathematischen ZeichensBild mathematischen Zeichens Bild mathematischen Zeichensz1 + u - Bild mathematischen Zeichens2· Bild mathematischen ZeichensBild mathematischen Zeichens Bild mathematischen Zeichensz1 ;   Bild mathematischen ZeichensBild mathematischen Zeichens2 Bild mathematischen Zeichens Bild mathematischen ZeichensBild mathematischen Zeichens2Bild mathematischen Zeichens + Bild mathematischen Zeichens2· Bild mathematischen ZeichensBild mathematischen Zeichens Bild mathematischen Zeichens Bild mathematischen ZeichensBild mathematischen Zeichens2 + z1·  Bild mathematischen ZeichensBild mathematischen Zeichens Bild mathematischen Zeichens Bild mathematischen ZeichensBild mathematischen Zeichens2 ;     Bild mathematischen Zeichensb2 Bild mathematischen Zeichens Bild mathematischen Zeichensz1 = z2· Bild mathematischen ZeichensBild mathematischen Zeichens Bild mathematischen Zeichensz1 + Bild mathematischen Zeichens1· Bild mathematischen ZeichensBild mathematischen Zeichens Bild mathematischen Zeichensz1 ;   - Bild mathematischen ZeichensBild mathematischen Zeichens1 Bild mathematischen Zeichens Bild mathematischen ZeichensBild mathematischen Zeichens2 =  - Bild mathematischen Zeichens1· Bild mathematischen ZeichensBild mathematischen Zeichens Bild mathematischen Zeichens Bild mathematischen ZeichensBild mathematischen Zeichens2  + z2· Bild mathematischen ZeichensBild mathematischen Zeichens Bild mathematischen Zeichens Bild mathematischen ZeichensBild mathematischen Zeichens2 .  

Daraus ist die Gleichung 1) für b (a) :   Bild mathematischen Zeichensb1 Bild mathematischen Zeichens Bild mathematischen Zeichensz1 =  Bild mathematischen ZeichensBild mathematischen Zeichens2 Bild mathematischen Zeichens Bild mathematischen ZeichensBild mathematischen Zeichens2 erfüllt,  weil  u = Bild mathematischen Zeichens  (nach der Induktionsmethode)  bei  z1 = Bild mathematischen Zeichens1   und Gleichungen 1) :  Bild mathematischen ZeichensBild mathematischen Zeichens Bild mathematischen Zeichensz1  =  Bild mathematischen ZeichensBild mathematischen Zeichens Bild mathematischen Zeichens Bild mathematischen ZeichensBild mathematischen Zeichens2   und  2) :  Bild mathematischen ZeichensBild mathematischen Zeichens Bild mathematischen Zeichensz1   = -  Bild mathematischen ZeichensBild mathematischen Zeichens Bild mathematischen Zeichens Bild mathematischen ZeichensBild mathematischen Zeichens2   nach Ausgangsvoraussetzungen  auch  erfüllt werden. Aus denselben Gründen ist die Gleichung 2) für b(a) :  Bild mathematischen Zeichensb2  Bild mathematischen Zeichens  Bild mathematischen Zeichensz1  =  -  Bild mathematischen Zeichens Bild mathematischen Zeichens1  Bild mathematischen Zeichens Bild mathematischen Zeichens Bild mathematischen Zeichens2  auch erfüllt. Zum Beweis der Gültigkeit der Gleichungen 3) und 4) betrachten wir andererseits die gleichwertige Darstellungsform für a (N +1) = a·aN = (z1+ z2 j ) (u + v j ), die aus dem Assoziativgesetzt der Multiplikation folgt. Für dieselben Funktionen b1 und b2 haben wir auch Ausdrücke b1 = ( u z1 -  Bild mathematischen Zeichens z2 ) und b2 = ( z1 v + z2  Bild mathematischen Zeichens ) sowie für Ableitungen  Bild mathematischen Zeichensb1 Bild mathematischen Zeichens Bild mathematischen Zeichensz1 =  z1· Bild mathematischen ZeichensBild mathematischen Zeichens Bild mathematischen Zeichensz1  + u  -  z2 · Bild mathematischen ZeichensBild mathematischen Zeichens Bild mathematischen Zeichens Bild mathematischen Zeichensz1;    Bild mathematischen Zeichensb2 Bild mathematischen Zeichens Bild mathematischen Zeichensz2  = z1· Bild mathematischen ZeichensBild mathematischen Zeichens Bild mathematischen Zeichensz2  + z2· Bild mathematischen ZeichensBild mathematischen Zeichens Bild mathematischen Zeichens Bild mathematischen Zeichensz2   +  Bild mathematischen Zeichens ;    Bild mathematischen Zeichens b2  Bild mathematischen Zeichens Bild mathematischen Zeichens Bild mathematischen Zeichens1 = z1· Bild mathematischen ZeichensBild mathematischen Zeichens Bild mathematischen ZeichensBild mathematischen Zeichens1  + z2· Bild mathematischen ZeichensBild mathematischen Zeichens Bild mathematischen Zeichens Bild mathematischen ZeichensBild mathematischen Zeichens1 ;    -  Bild mathematischen Zeichensb1  Bild mathematischen Zeichens Bild mathematischen Zeichens Bild mathematischen Zeichens2  =  - z1· Bild mathematischen ZeichensBild mathematischen Zeichens Bild mathematischen ZeichensBild mathematischen Zeichens2  + z2· Bild mathematischen ZeichensBild mathematischen Zeichens Bild mathematischen Zeichens Bild mathematischen ZeichensBild mathematischen Zeichens2 . Wenn Funktionen b1 und b2 die Gleichung  3) erfüllen,  d. h.   Bild mathematischen Zeichensb1 Bild mathematischen Zeichens Bild mathematischen Zeichensz1  =  Bild mathematischen Zeichensb2 Bild mathematischen Zeichens Bild mathematischen Zeichensz2 ,   so muss    z1· Bild mathematischen ZeichensBild mathematischen Zeichens  Bild mathematischen Zeichensz1 +  u  - z2· Bild mathematischen ZeichensBild mathematischen Zeichens Bild mathematischen Zeichens Bild mathematischen Zeichensz1  = z1· Bild mathematischen ZeichensBild mathematischen Zeichens Bild mathematischen Zeichensz2  + z2· Bild mathematischen ZeichensBild mathematischen Zeichens  Bild mathematischen Zeichens Bild mathematischen Zeichens z2 +  Bild mathematischen Zeichens   gelten. Das ist so, weil u = Bild mathematischen Zeichens  ,  Bild mathematischen ZeichensBild mathematischen Zeichens Bild mathematischen Zeichensz1  =   Bild mathematischen Zeichensv Bild mathematischen Zeichens Bild mathematischen Zeichensz2   (Gl. 3)) und   Bild mathematischen Zeichens Bild mathematischen Zeichens Bild mathematischen Zeichens Bild mathematischen Zeichensz1  = -  Bild mathematischen Zeichens Bild mathematischen Zeichens Bild mathematischen Zeichens Bild mathematischen Zeichensz2 (nach der Konjugation von 4)) bei  z1 = Bild mathematischen Zeichens1  nach der Ausgangsvoraussetzung für  w  =  a N  gelten. Hier zeigt sich, dass b (a) = a (N +1) die Gleichung 3) auch erfüllt.   Wenn b1 und b2 die Gleichung 4) erfüllen, d.h.  Bild mathematischen Zeichensb2 Bild mathematischen Zeichens Bild mathematischen Zeichens Bild mathematischen Zeichens1  =  -  Bild mathematischen Zeichens b1Bild mathematischen Zeichens Bild mathematischen ZeichensBild mathematischen Zeichens2 , so muss  z1· Bild mathematischen Zeichensv Bild mathematischen Zeichens Bild mathematischen Zeichens Bild mathematischen Zeichens1   +  z2· Bild mathematischen Zeichens Bild mathematischen Zeichens  Bild mathematischen Zeichens  Bild mathematischen ZeichensBild mathematischen Zeichens 1  =  - z1· Bild mathematischen Zeichensu Bild mathematischen Zeichens Bild mathematischen ZeichensBild mathematischen Zeichens 2 + z2· Bild mathematischen Zeichens Bild mathematischen Zeichens Bild mathematischen Zeichens Bild mathematischen ZeichensBild mathematischen Zeichens 2  gelten.   Dies gilt, weil  Bild mathematischen Zeichensv Bild mathematischen Zeichens Bild mathematischen ZeichensBild mathematischen Zeichens 1  = -  Bild mathematischen ZeichensBild mathematischen Zeichens Bild mathematischen ZeichensBild mathematischen Zeichens2  (Gl. 4)) und   Bild mathematischen ZeichensBild mathematischen Zeichens Bild mathematischen Zeichens Bild mathematischen ZeichensBild mathematischen Zeichens1  =  Bild mathematischen ZeichensBild mathematischen Zeichens Bild mathematischen Zeichens Bild mathematischen ZeichensBild mathematischen Zeichens2    (nach der Konjugation von 3))  bei  z1 = Bild mathematischen Zeichens1   nach der Voraussetzung auch gelten. Die Gleichung 4)  für  b(a) = a (N +1) wird auch erfüllt. Schliesslich kann man behaupten, dass die Hyperanalytizität der quaternionischen Funktion w(a) = a N , wobei  N = 1,2,3,...,  durch vollständige Induktion bewiesen ist. Wie oben gezeigt, bewirkt das Assoziativgesetzt im gegebenen Falle die Identität   b1 =  u z1 - Bild mathematischen Zeichens2 v = u z1 -  Bild mathematischen Zeichens z2  und wir haben, folglich, Bild mathematischen Zeichens2v = Bild mathematischen Zeichensz2 sowie b1 = Bild mathematischen Zeichens1  bei  z1 = Bild mathematischen Zeichens1 und   u = Bild mathematischen Zeichens .   

Beispiel 4.

Sei w ( a ) = u + v j = exp ( a ) = exp ( z1 + z2 j ), wobei  exp ( a ) eine Exponentialfunktion ist. Um die Hyperanalytizität dieser quaternionischen Funktion zu bestätigen, müssen wir u und v als komplexe Funktionen von Variablen z1 und z2 darstellen. Anfänglich benutzen wir die Darstellung, in der die Koordinaten reelle Zahlen sind, und zwar   a = x0 + x1 i +x2 j + x3 k = x0 + xVekt   (  x0 und xVekt sind sog.  [ 7 ]   Skalar- und Vektorteile von a ).
Bekanntlich kann jede beliebige Quaternion a in der Form  a = x0+ xe dargestellt werden [ 1,7 ],  wobei   x = | xVekt | =  ( x12 + x22 + x32 )½   ,   e = x-1( x1 i + x2 j + x3 k )  und  e2 = -1.  Daraus ist ersichtlich, dass es für jede Quaternion a eine flache Darstellung gibt als ob a eine komplexe Zahl in der komplexen Ebene mit den reellen Koordinaten x0 und x und einer imaginären Einheit e ist. Dann gilt die Formel w ( a ) = exp ( x0 + x·e ) = exp ( x0 ) · exp ( x·e ) und wir benutzen folglich bekannte Eulersche Formel w (a) = exp ( x0 ) · ( cos x + e·sin x ).

Nach Einsetzen vom Ausdruck für e und Umformen unter Benutzung von  i·j = k  ( Seite 1: Multiplikationsregeln ) erhalten wir den folgenden Ausdruck w ( a ) = u + v · j = exp ( x0 ) [ cos x + x1x-1 (sin x) i ] + [ x-1 exp ( x0 ) (sin x) (x2 + x3 i ) ] · j , woraus die Ausdrücke u = exp ( x0 ) · [ cos x + x1x-1 ( sin x ) i ]   und   v = x-1 exp ( x0 ) ( sin x ) (x2 + x3 i )  folgen. Ersetzen wir nun in diesen reelle Variablen durch komplexe nach den Formeln  x0 = 2-1( z1 + Bild mathematischen Zeichens1 ) ,  x1 = ( 2i )-1( z1 - Bild mathematischen Zeichens1 ) ,  x2 = 2-1( z2 + Bild mathematischen Zeichens2 )  und  x3 = ( 2i )-1 ( z2 - Bild mathematischen Zeichens2 ) , die aus den Formeln für die konjugiert komplexen Koordinaten folgen. Dann bekommen wir schliesslich die folgenden gesuchten Ausdrücke u = 2b[cos x + ( 2x )-1 ( z1 - Bild mathematischen Zeichens1 ) sin x ]  und  v =  2b x-1 z2 sin x , wobei   x = [ z2Bild mathematischen Zeichens2 -  2-2( z1 - Bild mathematischen Zeichens1 )2 ]½   und   b = 2-1 exp [ 2-1 ( z1 + Bild mathematischen Zeichens 1 ) ] reelle Grössen sind.    Daraus folgt    u =  Bild mathematischen Zeichens   bei  z1Bild mathematischen Zeichens1 .

Direkte Differentiation von u und v ergibt nach mühsamer Arbeit die folgenden Ausdrücke für Ableitungen:
 Bild mathematischen ZeichensBild mathematischen Zeichens Bild mathematischen Zeichensz1 = b [ cos x + x-1( z1 - Bild mathematischen Zeichens1 ) sin x + x-1 sin x  -  4-1-3 ( z1 - Bild mathematischen Zeichens1 ) 2 ( x cos x - sin x ) ] ;
 Bild mathematischen ZeichensBild mathematischen Zeichens Bild mathematischen Zeichensz2  = b [ 2x-1sin x + z2 Bild mathematischen Zeichens2x-3( x cos x - sin x ) ] ;
 Bild mathematischen ZeichensBild mathematischen Zeichens Bild mathematischen Zeichens Bild mathematischen ZeichensBild mathematischen Zeichens2 = b [ 2x-1sin x + Bild mathematischen Zeichens2z2 x-3( xcos x - sin x ) ] ;
 Bild mathematischen ZeichensBild mathematischen Zeichens Bild mathematischen Zeichensz1 = z2b [ x-1sin x - ( z1 - Bild mathematischen Zeichens1 ) 2-1x-3 ( x cos x - sin x ) ] ;
Bild mathematischen ZeichensBild mathematischen Zeichens Bild mathematischen Zeichens Bild mathematischen ZeichensBild mathematischen Zeichens2 = z2b [ x-1sin x + ( z1 - Bild mathematischen Zeichens1 )2-1x-2 (cos x - x-1sin x ) ] ;
 Bild mathematischen ZeichensBild mathematischen Zeichens Bild mathematischen ZeichensBild mathematischen Zeichens1 = z2b [ x-1(sin x) + ( z1 - Bild mathematischen Zeichens1 ) 2-1x-3 ( x cos x - sin x ) ] ;
Bild mathematischen ZeichensBild mathematischen Zeichens Bild mathematischen ZeichensBild mathematischen Zeichens2 = z2b [ x-1sin x - ( z1 - Bild mathematischen Zeichens1 ) 2-1x-2 ( cos x - x-1sin x ) ] .

Daraus sieht man, dass die quaternionische Funktion w (a) = exp (a) hyperanalytisch ist, weil sie bei  z1Bild mathematischen Zeichens1 = x0 die Gleichungen ( CRD im Raum ) erfüllt, d.h.
1)  Bild mathematischen ZeichensBild mathematischen Zeichens Bild mathematischen Zeichensz1 = Bild mathematischen ZeichensBild mathematischen Zeichens Bild mathematischen Zeichens Bild mathematischen ZeichensBild mathematischen Zeichens2 = 2-1exp( z1)( cos |z2| + |z2|-1sin |z2| ) ,
2)  Bild mathematischen ZeichensBild mathematischen Zeichens Bild mathematischen Zeichensz1 = - Bild mathematischen ZeichensBild mathematischen Zeichens Bild mathematischen Zeichens Bild mathematischen ZeichensBild mathematischen Zeichens2 = 2-1 z2| z2|-1exp( z1) sin| z2| ,
3)  Bild mathematischen ZeichensBild mathematischen Zeichens Bild mathematischen Zeichensz1 =  Bild mathematischen ZeichensBild mathematischen Zeichens Bild mathematischen Zeichensz2  = 2-1 exp ( z1) ( cos| z2| + | z2|-1 sin| z2| ) ,
4)  Bild mathematischen ZeichensBild mathematischen Zeichens Bild mathematischen ZeichensBild mathematischen Zeichens1   = - Bild mathematischen ZeichensBild mathematischen Zeichens Bild mathematischen ZeichensBild mathematischen Zeichens2  = 2-1 z2 |z2|-1 exp(z1) sin|z2| ,
wobei die Identität z2Bild mathematischen Zeichens2 = |z2|2 sowie x = |z2| und b = 2-1exp(x0)  bei  z1Bild mathematischen Zeichens1  benutzt wurden.

Also, die quaternionische Funktion w (a) = exp (x0 + x2 j + x3 k) besitzt im dreidimensionalen Raum die quaternionische Ableitung w'(a) = u' + v' j = Bild mathematischen ZeichensBild mathematischen ZeichensBild mathematischen Zeichensz1 + Bild mathematischen ZeichensBild mathematischen Zeichens Bild mathematischen Zeichensz1 · j = 2-1·exp ( x0 ) · [ ( cos |z2| + |z2|-1 sin |z2| ) + x2 |z2|-1 sin |z2| · j + x3 |z2|-1 sin |z2| · k  ] , wobei  |z2| = ( x22 + x32 )½ .

Würde man zuerst   z1Bild mathematischen Zeichens1  in  u  und  v  einsetzen, so hätte man die Ausdrücke  u = exp (z1) · cos |z2|  und   v = exp (z1)· z2|z2|-1 sin |z2| . Nach entsprechender Differentiation hätte man, zum Beispiel,   Bild mathematischen ZeichensBild mathematischen ZeichensBild mathematischen Zeichensz1  =  exp ( z1) cos |z2|  und  Bild mathematischen ZeichensBild mathematischen Zeichens Bild mathematischen Zeichensz2 = 2-1 exp (z1) [ cos |z2| + |z2|-1 sin |z2| ] , woraus ersichtlich würde, dass die Gleichung 1) nicht erfüllt wird. Dies illustriert die Notwendigkeit der richtigen Berechnungsfolge.

Die im Beispiel 3. festgelegte Tatsache, dass alle Potenzfunktionen w = a N , N = 1,2,3,... hyperanalytisch sind, d. h. die notwendigen Gleichungen (CRD im Raum) erfüllen, liefert für nachfolgende Arbeiten einen guten Grund zur Definition der elementaren (und anderen) hyperanalytischen Funktionen mittels der Potenzreihen, wie es für analytische Funktionen, z. B. sin z, cos z u.a., gilt.

Aus der weiteren Entwicklung ergaben sich weitere (4-1D) - Begriffe und Definitionen und zwar eine Konzentrationseigenschaft der Feldgleichungen, hyperkomplexe harmonische Funktionen, Gradient, Divergenz, Laplaceoperator, das hyperkomplexe dreidimensionale Potential des statischen Feldes usw. In naher Zukunft sind diese hier anzuführen.

Die Darlegungsform dieses Abschnittes folgte der Darlegungsform der Lehrbücher [1,6], um die Einfachheit der entwickelten Vorstellungen zu zeigen. Zudem wird hier mehr Klarheit erreicht, weil diese Verallgemeinerung die vorliegenden Lücken und Fehler erklärt und beseitigt. So, zum Beispiel, wurde in [4] eine ähnliche Verallgemeinerung der Differenzierbarkeitsdefinition nur durch die rechtsseitige quaternionische Ableitung verwirklicht. Dabei wurde wahrscheinlich aufgrund der vorliegenden Arbeiten gemeint, dass die linksseitige Differenzierbarkeitsdefinition nur die linearen quaternionischen Funktionen als hyperanalytischen ergeben kann. Es ist aber fehlerhaft, weil nach dem obigen Beispiel 3 alle quaternionische Potenzfunktionen w = aN , N = 1,2,3,... im Rahmen vorgestellter Verallgemeinerung über vollwertige (beiderseitige) quaternionische Ableitungen verfügen und hyperanalytisch sind.



© 2007. Michael Parfenov. E-Mail parfenm@gmx.de [Nach oben]