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Quaternionenanalysis: hyperanalytische Fortsetzung analytischer Funktionen | Seite: 1 2 |
Vorwort : Konzeptionen
Eine eingehende Motivation der unten dargelegten Fragestellung und entwickelten Theorie findet sich im Prolog zur Website www.4-1dimwelt-mwparf.de.
In der geht es eigentlich um eine prinzipielle Unzweckmäßigkeit, eine im Komplexen geltende
Form der Differenzierbarkeitsdefinition weiter im Quaternionischen auszuschließen, da jeder Punkt
des Raums im gleichen Grade und gleichzeitig ein Punkt einer Ebene auch ist.
Für "ein und denselben Punkt" soll die Grundlage der Formulierung sowohl im Komplexen,
als auch im Quaternionischen gleich sein, sonst wird die Objektivität verletzt.
Aus diesem Grund werden die Ableitungen im quaternionischen Raum genauso wie in der komplexen Ebene
durch Grenzwerte der Differenzenquotienten im weiteren definiert. Dies ist die erste Forderung des erweiterten
Permanenzprinzips, das eine Ähnlichkeit der Darstellungsformen für Variablen, Differentialoperatoren
und Gleichungen im komplexen und quaternionischen Analysis hauptsächlich auf Grund des
"Verdopplungsformalismus" (Caylay-Dickson-Verfahren) festlegt.
Dieses Prinzip fordert auch das Folgende: Resultiert aus dem mathematischen Apparat der komplexen
Analysis eine adäquate Beschreibung physikalischer Felder in der Ebene, so sollte die
Quaternionenanalysis auch eine adäquate Beschreibung der räumlichen Felder verwirklichen.
In diesem Zusammenhang sei daran erinnert, dass in solch einem Bereich, wie Funktionentheorie,
spielten anfänglich physikalische Fragestellungen eine wichtige Rolle. Die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen finden sich z. B. schon 1752
bei D'Alembert in seiner Strömungslehre ([8], S. 40 ) .
Ohne Grenzwerte der Differenzenquotienten kann man nicht ein physikalisches Feld, z. B. ein elektrostatisches Feld, als lokale Raumdeformationen (ein gespannter Raum) darstellen. Das
Feld im Raum kann nicht zwei Feldstärkevektoren, d.h. zwei durch Differenzenquotienten definierte Ableitungswerte in einem Punkt haben.
Deswegen muss eine linksseitige Ableitung der entsprechenden rechtsseitigen im Quaternionischen gleich sein.
Diese auf den ersten Blick extreme Forderung ist aber nicht eine freie Voraussetzung, sondern ein erzwungener Schritt und dabei
ein produktiver Schritt.
Er bewirkt (diese Erklärung folgt unserer Meinung nach aus einer Konzeption des Buches [7 ], S. 98 )
eine Reduzierung der quaternionischen Dimension (den Übergang zu 4-1, d.h. 3 Dimensionen) und
folglich ein weniger restriktives System der Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen und
eine entsprechende Vielfalt holomorpher Funktionen im Vergleich zum maximal restriktiven System,
das im "streng" 4-dimensionalen Quaternionischen existiert und das mehr als
"enthaltsame" Mejlikhzhons Resultat zu Folge hat. Dieser Zugang verneint nicht das Mejlikhzhons Resultat, er entgeht gerechtfertigt seinem Geltungsbereich und führt auf eine reellere Verallgemeinerung der komplexen Differenzierbarkeitsdefinition auf Grund der Grenzwerte der Differenzenquotienten.
1. Grundlegende Rolle des erweiterten Permanenzprinzips in der Quaternionenanalysis
Jeder, der die Theorie der stationären Felder, zum Beispiel, des
elektrostatischen Feldes oder des Feldes der Flüssigkeitsströmung [ 6 ] erlernte, wunderte sich darüber,
wie elegant und einfach mathematische Theorie der analytischen Funktionen einer komplexen Variablen (Funktionentheorie in der Ebene) eine physikalische Realität der zweidimensionalen Felder beschreibt. Es liegt daran, dass die Differenzierbarkeitsdefinition in der komplexen Analysis
der physikalischen Natur statischer Felder adäquat ist.
Es gibt, im Prinzip, keine ernsten Gründe ( siehe Prolog ), eine Möglichkeit der Existenz des gleichartigen mächtigen
mathematischen Apparats für Felder in dreidimensionalem Raum auszuschliessen , weil ein Raum aus
"Bestandteilen" - Ebenen besteht.
Ziemlich augenscheinlich ist dabei, dass alle Prinzipien und Formeln solcher Funktionentheorie im Raum ( Quaternionenanalysis ) mit den entsprechenden Prinzipien und Formeln der existierenden Analysis einer komplexen Variablen in der Ebene ähnlich (isomorph ) sein müssen, zumal solche Ähnlichkeit zwischen jeder Ebene und ihren Bestandteilen - Geraden schon existiert. So, zum Beispiel, ist bekannt ([ 5 ],S.353) , daß jede analytische Funktion einer komplexen Variablen z = x + iy ein entsprechendes zweidimensionales elektrostatisches Feld darstellt und man solche Funktion erzeugt, wenn man eine differenzierbare Funktion f(x) einer reellen Variablen x betrachtet und dann eine komplexe Variable z = x + iy statt x hineinführt. Beispielsweise sind Funktionen sin(x+iy), exp(x+iy), (x+iy), (x+iy)-1, (x+iy)2,(x+iy)3 analytisch in allen Punkten z, wo sie nicht gegen Unendlichkeit gehen. Hingegen, gibt es, leider, in vorliegenden zahlreichen Arbeiten (siehe z.B. Übersichten in [ 4 , 7 ]), die Verallgemeinerungen der Differenzierbarkeitsdefinition auf den Fall der Quaternionen ( Quaternionenanalysis ) darlegen , weder den ähnlichen einfachsten Algorithmus und die der physikalischen Realität adäquate quaternionische Differenzierbarkeitsdefinition, noch in vollem Maße Ideen der "isomorphen" Verallgemeinerung der Funktionentheorie ("isomorpher" Quaternionenanalysis) , die ein erweitertes Permanenzprinzip ([ 2 ],S.156) in diesem Falle ausdrücken. Nämlich im Sinne der Ähnlichkeit der Formeln, Differentialoperatoren und Differenzierbarkeitsdefinition verstehen wir weiter den Begriff "erweitertes Permanenzprinzip". Eine grundlegende Rolle spielt dabei die Darstellung von Variablen und Differentialoperatoren in der sog. verdoppelten Form (Caylay-Dickson-Verfahren).
Zum Ziel hatten wir anfänglich eine Beseitigung
von angegebener Lücke. Die "Philosophie" kam später.
Im weiteren geben wir ein Bild von der Sachlage ohne detaillierte Beweise. Vollständige Beweise sind dabei mit Hilfe von den im
laufenden Text bezeichneten "Schlüsselwörter"
(Links ) sofort erreichbar.
2. Ausgangsbegriffe der Quaternionenanalysis
Die erste Ausgangsposition besteht darin, dass die dreidimensionale Theorie ein stationäres Feld genau so wie die zweidimensionale nach dem erweiterten Permanenzprinzip beschreiben muss. Das stationäre Feld, im allgemeinen, kann man wie einen gespannten Zustand oder eine Deformation des Raumes vorstellen.
Eine ähnliche Interpretation gilt in der komplexen Ebene. Den Grad dieser Deformation kann man als Verhältnis eines elementaren Abstands "dw" zweier naher Punkte im deformierten Raum zum entsprechenden Abstand "da" zweier derselben Punkte im Raum ohne Deformation beschreiben, d.h. als Quotient aus "dw 
da".
Daraus folgt, dass die für die Beschreibung der dreidimensionalen Felder passende, zu suchende Algebra eine normierte (mit euklidischem Längenmaß) und über eine algebraische Divisionsoperation verfügende Algebra sein muss. Nach dem erweiterten Permanenzprinzip muss die zu suchende Algebra über ein Einselement 1 auch verfügen, weil komplexe Zahlen über ein solches Einselement verfügen.
Den genannten Erfordernissen entspricht vollkommen und aufs beste die Algebra der Quaternionen (H) .
Quaternionen erhält man dadurch, dass zu den reellen Zahlen nicht nur eine (wie bei den komplexen Zahlen), sondern drei imaginäre Einheiten hinzugefügt werden, die man mit i, j, k bezeichnet. So wird jede Quaternion a in der Form :
a = x0 + x1i + x2j + x3k
dargestellt, wobei x0,x1,x2,x3 reelle Zahlen ( "räumliche Koordinaten" ) sind und für imaginäre Einheiten folgende Multiplikationsregeln i2 = j2 = k2 = ijk = - 1;
ij = - ji = k; jk = - kj = i; ki = - ik = j;
sowie j·z = 
·j , für z 
C gelten .
Die allgemeinen Eigenschaften der Quaternionen sind altbekannt. Mit Ausname des Kommutativgesetzes der Multiplikation gelten für Quaternionen dieselben algebraischen Gesetze wie für die komplexen Zahlen. Der Unterschied zwischen wichtigsten Identitäten wird nur durch die Nicht-Kommutativität der Multiplikation bedingt.
Die zu a konjugierte Quaternion 
wird
ähnlich den komplexen Zahlen (vgl. [ 1 - 7 ], S.2) durch den Ausdruck
= x0 - x1i - x2j - x3k
definiert. In der komplexen Analyse gelten die entsprechenden Formeln : a = x0 + x1i
und = x0 - x1i .
Hier und im folgenden vergleichen wir quaternionische Formeln mit entsprechenden Formeln der komplexen Analyse , um die Gültigkeit des erweiterten Permanenzprinzips und folglich prinzipielle Möglichkeit der praktischen Anwendungen der vorgestellten quaternionischen Analyse zu betonen.
In engem Zusammenhang mit dem erweiterten Permanenzprinzip steht, unserer Meinung nach, die Darstellung der Quaternionen in der sogenannten verdoppelten [ 1 ] Form, die wir weiter als Basis der isomorphen Verallgemeinerung der Differenzierbarkeit benutzen. Es handelt sich darum, dass Quaternionen unter Benutzung der obigen Eigenschaft ij = k in der folgenden Form dargestellt werden können :
a = x0 + x1i + x2j + x3k = (x0 + x1 i) + (x2 + x3 i) j = z1 + z2 j ,
wobei z1= x0 + x1 i und z2 = x2 + x3 i als komplexe Zahlen betrachtet werden . Anders gesagt, drückt diese den komplexen Zahlen ähnliche Darstellungsform einen Verdopplungsprozess der zweidimensionalen komplexen Zahlen aus, woraus sich die vierdimensionalen Quaternionen ergeben. Ebenso ergeben sich die komplexen Zahlen aus den reellen und Oktaven aus Quaternionen [ 1 ] . Dies bedeutet , dass es eine gemeinsame Formel der Darstellung der unabhängigen Variablen auf einer Gerade, in einer Ebene, in einem Raum gibt , und zwar
(VF) a = a1 + a2 j ,
wobei a1, a2 reelle Zahlen sind, wenn a eine komplexe Zahl darstellt, und a1, a2 komplexe Zahlen sind, wenn a eine Quaternion darstellt usw.
Zunächst ist unsere Aufgabe, die im weiteren notwendigen Ausgangsformeln und Definitionen in der dem erweiterten Permanenzprinzip entsprechenden Verdopplungsform ( VF ) darzustellen .
Meistens sind sie aus der Funktionentheorie bekannt [ 1,7,8 ] und wir fassen die wichtigsten zusammen.
Ist b = b1 + b2j zweite, wie a beliebige, Quaternion, dann gelten folgende Regeln für Addition und Multiplikation :
a + b = (a1 + a2 j) +( b1 + b2 j) = (a1 + b1) + (a2 + b2) j ,
a·b = (a1 + a2 j)·(b1 + b2j) = (a1b1 - 
2a2) + (b2a1 + a21) j ,
wobei 1 und 2 entsprechend zu b1 und b2 konjugiert komplexe Zahlen [ 6 ] sind.
Wir multiplizieren a1 , b1 , a2 , b2 miteinander hier nach den Multiplikationsregeln der komplexen Zahlen. Sind a,b komplexe Zahlen, dann erfüllen wir die Multiplikation dieser Grössen wie für reelle Zahlen.
Die Nicht-Kommutativität der Multiplikation für Quaternionen ergibt bei der Division, wenn eine beliebige Quaternion
b H durch andere beliebige
a H (a 
0)
geteilt wird, zwei voneinander verschiedene Quotientenwerte XL und XR ,
welche die Lösungen der folgenden Gleichungen
(L) a·XL = b
(R) XR·a = b .
sind und der linke (XL = XL1 + XL2 j ) und der rechte (XR = XR1 + XR2 j) Quotientenwert heissen.
Die verallgemeinerten Hamiltonschen Operatoren 
(Nabla) und 
(Nablaquer)
sind, wie gewöhnlich (vgl.[ 2 ],S.166) , durch
(H) = 
+ 
i + 
j + 
k ;
= - i - j - k
definiert .
Wir betrachten nun, wie üblich in der Funktionentheorie , komplexe Differentialoperatoren in sogenannten (vgl. [ 6 ] , S.69) konjugiert komplexen Koordinaten
z1 = x0 + x1 i ,
1 = x0 - x1 i
als
(D1) 2
= ( - i ) 2 
= ( + i )
und analog in konjugiert komplexen Koordinaten
z2 = x2 + x3 i ,
2 = x2 - x3 i
als
(D2) 2 
= ( - i ) 2 
= ( + i )
Aus diesen Formeln heraus ergeben sich Hamiltonsche Operatoren in der verdoppelten Form ( VF ) als hyperkomplexe Differentialoperatoren :
( VF1 ) = 2 ( + j ) ,
= 2 ( - j )
Als hyperkomplexe nennen wir hier und weiter im quaternionischen Raum alle Begriffe, die mit der Darstellungsform ( VF ) verbunden sind. Im Rahmen unserer Aufgabe unterscheidet sich diese Definition des Hyperkomplexen von der üblichen ( vgl. [ 1 ] ) .
Die letzten Formeln sehen ähnlich den analogen Formeln der komplexen Analyse (vgl. [ 6 ] , S.69) aus, was die Gültigkeit des erweiterten Permanenzprinzips in obigem Sinne noch mal, aber nun für Operatoren und bestätigt.
Dieses und alle oben dargestellten Beispiele der Ähnlichkeit drücken, unserer Meinung nach, eine Einheit der räumlichen Beziehungen der Umwelt aus.
Wir erweitern diese Einsichten in die Ähnlichkeit im nächsten Abschnitt bezüglich abhängiger hyperkomplexer Variablen oder hyperkomplexer Funktionen.
Im weiteren kann man sehen , dass unsere verallgemeinernden Definitionen ( mit Unterschied von quaternionischen Besonderheiten ) fast genau entsprechende Definitionen aus der komplexen Analyse fraseologisch wiederholen .
3. Hyperkomplexe Differentiation und Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen
3.1. Hyperkomplexe Variablen und Funktionen
Entspricht jedem Wert, den die unabhängige hyperkomplexe Variable a = z1 + z2 j annehmen kann, einer oder mehrere Werte anderer hyperkomplexen Variablen w = u + vj , dann sagen wir, w ist eine hyperkomplexe Funktion (abhängige Variable) von a, und schreiben diese in der verdoppelten Form
( VF2 ) w = w (a) = u (z1, z2) + v (z1, z2) j ,
wobei u (z1,z2) und v (z1,z2) komplexwertige Funktionen von unabhängigen komplexen Variablen z1 und z2 sind.
3.2. Hyperkomplexe Differenzierbarkeitsdefinition
Ist w (a) eine in einem Gebiet G des quaternionischen Raumes eindeutige Funktion, so ist die quaternionische Ableitung von w (a) definiert als
(AD)
,
vorausgesetzt, dass der eindeutige Grenzwert in a G existiert und unabhängig von der Art ist, wie 
a gegen 0 geht (1) und wie der Zähler durch den Nenner geteilt wird, von links oder von rechts (2). In diesem Fall sagen wir, dass w (a) in a differenzierbar ist. Unter a versteht man , wie üblich, ein Inkrement für a.
In dieser Definition benutzen wir in verdoppelter Form a = z1 +z2 j ,
w = w (a + a) - w (a) = u + v j
und w' (a) = u' (a) + v' (a) j .
Also, wir haben die nötigen Ausgangsbegriffe und die Differenzierbarkeitsdefinition (AD) im Quaternionischen in der verdoppelten Form ( gleichfalls wie im Komplexen ) dargestellt, wodurch die ersten Forderungen des erweiterten Permanenzprinzips erfüllt sind .
Zum Unterschied von in der z-Ebene üblicher Differenzierbarkeitsdefinition ( nur Forderung (1) ) haben wir in der Definition (AD) die zusätzliche Forderung ((2) ) an die Divisionsart eingeführt, um die nächste Forderung des erweiterten Permanenzprinzips zu erfüllen, und zwar die Möglichkeit der zwei verschiedenen (in einem Punkt a) quaternionischen Ableitungswerte ( w 'L(a) bei Division von links und w 'R(a) bei Division von rechts ) zu beseitigen . Nach dem erweiterten Permanenzprinzip muss man die eindeutige quaternionische Ableitung (AD) im quaternionischen Raum definieren, wenn die eindeutige Ableitung in der Ebene definiert ist.
Hier ist die Hauptunterschied zu heutigen Grundlagen der Funktionentheorie im Raum ( Quaternionenanalysis ), und zwar zum sog. [ 7 , S.99 ] "Mejlikhzhons Resultat", das die quaternionische Differenzierbarkeitsdefinition (AD) mittels des Grenzwertes des Differenzenquotienten eigentlich völlig ausschliesst ( siehe auch "Prolog" ) . Im folgenden zeigen wir , dass diese Behauptung irrtümlich ist .
3.3. Hyperanalytische Funktionen in der Quaternionenanalysis
Existiert die quaternionische Ableitung w '(a) in allen Punkten a des Gebietes G, so heisst die Funktion w (a) hyperkomplex analytisch (regulär,holomorph) oder kurzum hyperanalytisch in G. Eine Funktion w (a) heisst hyperanalytisch im Punkt a0 , falls es irgendeine reelle Zahl d > 0 und eine Umgebung |a - a0| < d gibt, so dass in jedem Punkt dieser Umgebung w '(a) existiert.
3.4 Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen in der Quaternionenanalysis
Die notwendigen Bedingungen dafür, dass w (a) hyperanalytisch in G ist , lassen sich detaillieren ,
wenn man das Verhältnis w
a
aus (AD) bei a 
0
unter Benutzung der Eindeutigkeitsbedingungen (1) und (2) analysiert .
Für jedes a 0
( während des Überganges a 0 )
ist w a
eine bestimmte eindeutige Quaternion XL = XL1+ XL2·j (bei Division von links)
oder XR= XR1+ XR2·j (bei Division von rechts), die durch
(L) oder (R) entsprechend berechnet werden. Die Eindeutigkeit jedes Folgegliedes bei jeder ausgewählten Annäherungsart a 0
bedingt die Eindeutigkeit des entsprechenden Grenzwertes, wenn er existiert, d.h. die Eindeutigkeit der entsprechenden linksseitigen oder rechtsseitigen Ableitung.
Dies wird angenommen und wir betrachten nun die beiden Divisionsarten. Bei jeder dieser Arten verfügt im Rahmen des oben dargestellten "Verdopplungsformalismus" die Annäherungsart a =
(z1 +z2 j)
0
auch über zwei (genauso wie im Komplexen) Möglichkeiten : ( Fall 1 ) a = z1
0 bei z2 = 0
und ( Fall 2 ) a = z2
· j 0 bei z1 = 0.
Insgesamt gibt es vier Varianten , die zu analysieren sind. Wir bezeichnen sie als folgende : LF1 und LF2 sowie RF1 und RF2 ,
wobei LF2 , beispielsweise , bedeutet , dass bei Division von links der Fall 2 der Annäherung a
0 untersucht wird . Der Zweck ist dabei , die notwendigen Bedingungen zu bekommen , unter denen alle
laut diesen Varianten aus ( AD ) im Limes bei a
0 hergeleiteten quaternionischen Ableitungen bewusst gleich sind .
Fangen wir mit der Variante LF1 an, dann erhalten wir unter Benutzung von Formel (L)
z1 ( XL1.F1 + XL2.F1 j ) = u + v j .
Hier zeigt der zusätzliche Index ".F1" darauf, dass der Fall 1 betrachtet wird. Mit der Hilfe des Distributivgesetzes und der Aufteilung in Teile mit " j " und ohne " j " ergeben sich die folgenden Ausdrücke:
XL1.F1 = u z1 ,
XL2.F1 = v z1 ,
wobei alle Grössen komplexwertige sind. Der Übergang zum Grenzwert hier bei z1 0
liefert schliesslich
(LF1)
u'(a)LF1 = XL1.F1.lim = 
u z1 ,
v'(a)LF1 = XL2.F1.lim = v z1 ,
wobei der zusätzliche Index ".lim" Grenzwerte für XL1.F1 und XL2.F1 bezeichnet und der Index "LF1" der in (AD) angeführten quaternionischen Ableitung w'(a) = u'(a) + v'(a)j die Bezeichnung der Variante LF1 zuschreibt. In Analogie hierzu verfahren wir im weiteren mit Indizes ".lim", "LF2", "RF1", "RF2".
Da alle Grössen in obigen Differenzenquotienten komplexwertig sind und z2 während des Überganges
z1 0 konstant bleibt,
haben wir mit (LF1) übliche (im Komplexen) partielle Ableitungen ( z.B. u
z1 )
von Funktionen u (z1, z2) und v (z1,z2) bezüglich z1 erhalten.
Analog ergeben sich weiter die anderen partiellen Ableitungen von diesen Funktionen .
Lediglich verdient hier die folgende Tatsache alle Beachtung . Die partiellen Ableitungen entsprechend (D1) und (D2),
ohne Forderung an u(a) und v(a) monogen zu sein (vgl.S. 98 in [7]), sind durch reelle partielle Ableitungen
, ,
,
definiert, wenn die letzten existieren und eindeutig sind. Die für diese reellen Ableitungen geltenden Rechenregeln sollen für die
komplexen Operatoren (D1) und (D2) auch gelten.
Die Variante LF2 ergibt durch ähnliches Verfahren schliesslich
(LF2)
u'(a)LF2 = XL1.F2.lim = 
2 ;
v'(a)LF2 = XL2.F2.lim= - 
2 .
Also, wir haben bei Division von links in ( AD ) zwei von der Annäherungsart a 0 abhängige quaternionische Ableitungen:
w'(a)LF1 = u z1
+ v z1
· j ;
w'(a)LF2 = 2
- 2
· j ;
Aber schon bei dieser Divisionsart ist w (a) nur dann (linksseitig) differenzierbar, wenn diese sozusagen LF1 und LF2 quaternionischen Ableitungen gleich sind. Daher sind das erste Paar der notwendigen Bedingungen dafür, dass w (a) hyperanalytisch ist :
(LCRD)
( uL' = ) u z1 = 2 ,
( vL' = ) v z1 = - 2 ,
die man als linksseitige Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen im quaternionischen Raum benennen kann.
Somit lautet die sog. linksseitige (vgl.[ 4,7 ] ) quaternionische Ableitung
wL'(a) = uL' (a) + vL'(a) · j .
Ähnlich verfahren wir mit den "rechtsseitigen" Varianten RF1 und RF2 und erhalten schliesslich folgende Ergebnisse :
(RF1)
u'(a)RF1 = XR1.F1.lim = u z1 ,
v'(a)RF1 = XR2.F1.lim = v 1 .
(RF2)
u'(a)RF2 = XR1.F2.lim = v z2 ,
v'(a)RF2 = XR2.F2.lim = - u 2 .
Nun haben wir bei Division von rechts auch zwei von der Annäherungsart a 0 abhängige Grenzwerte :
w'(a)RF1 = u z1
+ v 1
· j ;
w'(a)RF2 = v z2
- u 2
· j ;
die nach der Differenzierbarkeitsdefinition (AD) auch gleich sein müssen. Dies ergibt die folgenden Ausdrücke :
(RCRD)
( uR' = ) u z1 = v z2 ,
( vR' = ) v 1 = - u 2 ,
wobei uR' und vR' nun Teilbezeichnungen der rechtsseitigen quaternionischen Ableitung wR' (a) sind, und zwar
wR' (a) = uR' (a) + vR' (a) · j .
Die Gleichungen (RCRD) kann man als rechtsseitige Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen im quaternionischen Raum benennen.
Nach der zusätzlichen Forderung (2) in der Definition (AD) nehmen wir nun an, dass der Ableitungswert unabhängig von der Divisionsart ist. Dies bedeutet, dass die linksseitige quaternionische Ableitung gleich der rechtsseitigen quaternionischen Ableitung sein muss, d.h.
uL' = uR'undvL' = vR' .
Der Vergleich der Ausdrücke (LCRD) und (RCRD) zeigt, dass die erste dieser Bedingungen von selbst erfüllt wird und die zweite
äquivalent der Forderung z1= 1 ist
und wir notwendigerweise zum dreidimensionalen Raum übergehen müssen.
Hiernach müssen die Koordinate x1 und Differentialoperator x1 aus den entsprechenden Ausdrücken verschwinden.
Also die Existenz der eindeutigen quaternionischen Ableitung w' (a) = u'(a) + v'(a)· j bei u'(a) = uL'= uR' und v'(a) = vL'= vR' nach der Differenzierbarkeitsdefinition (AD) fordert darauf, dass das gesamte System der differentialen Gleichungen :
1) u z1 = 2 ,
2) v z1 = - 2 ,
(CRD im Raum)( bei z1= 1 )
3) u z1 = v z2 ,
4) v 1 = - u 2 ,
u'(a) = ^
v '(a) = ^
bei dem Setzen von z1= 1
in die partiellen Ableitungen, erfüllt werden muss.
Die Zeichen u'(a) = ^ und v ' (a) = ^ zeigen hier darauf, dass jede partielle Ableitung aus Gleichungen 1) und 3) als u' (a) und jede Ableitung aus 2) und 4) als v '(a) für die Ableitungsberechnung, wenn w(a) hyperanalytisch ist, nach (AD) benutzt werden kann.
Die Bedingung z1= 1 bewirkt den Übergang zum dreidimensionalen quaternionischen Raum nicht nur für unabhängige Variable
a und Differentialoperatoren (D1) , sondern auch für abhängige Variable w (a), was man aus folgendem sehen kann.
Der Gleichungen 2) und 4) aus (CRD im Raum) gemäss gilt für hyperanalytische Funktionen bei z1= 1 auch die Beziehung u 2 = 2 ,
woraus direkt u =
und dann u = folgen. Wir sehen, dass Punkte a des
dreidimensionalen ( bei z1= 1 ) quaternionischen Raumes mittels der differenzierbaren in diesen Punkten Funktionen w (a) in die
entsprechenden Punkte w = w (a) desselben dreidimensionalen quaternionischen Raumes abgebildet werden.
Anders gesagt, beobachtet man eine Abgeschlossenheit des dreidimensionalen quaternionischen Raumes bezüglich der
Transformationen mittels der hyperanalytischen Funktionen ähnlich der Abgeschlossenheit der komplexen Ebene
bei Transformationen mittels der analytischen Funktionen.
Das ist nichts Besonders, weil der Begriff Hyperanalytizität im quaternionischen Raum den Begriff Analytizität in der Ebene als einen besonderen Grenzfall enthält und Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen im quaternionischen Raum sich in übliche Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen in der Ebene nach dem erweiterten Permanenzprinzip verwandeln, wenn wir weiter zum zweidimensionalen Raum, d.h. Ebene, übergehen. Um das zu zeigen, nehmen wir z2= 2 in Gleichungen (CRD im Raum) an, was zum Übergang zur komplexen Ebene a = z = x0 + x2 j führt.
Wie man sehen kann, folgt aus Gleichungen 1) und 3) aus (CRD im Raum) eine Gleichung 2 =
v z2. Daraus bei z2= 2 ergibt sich v = . Dies bedeutet, dass die Abgeschlossenheit des Raums in dem obigen Sinne während des Überganges zur Ebene erhalten bleibt, was dem erweiterten Permanenzprinzip entspricht.
Unter Benutzung von in der komplexen Analyse geübten Bezeichnungen x0 =
x , x2 = y und z = x + yj , sowie unter Berücksichtigung der Tatsache, dass die Grössen x,y,u,v hier reelle Zahlen sind, erhalten wir aus (CRD im Raum) bekannte Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen in der Ebene:
(CRD)u x = v y
u y = - v x
Wenn wir jetzt G4 als ein beliebiges vierdimensionales Gebiet und G3 als entsprechendes dreidimensionales
Gebiet, das sich aus G4 bei z1= 1 ergibt, bezeichnen, dann können wir aus dem allen oben Dargestellten endlich die NOTWENDIGEN BEDINGUNGEN für die Existenz hyperanalytischer Funktionen formulieren :
Die notwendigen Bedingungen dafür, dass eine hyperkomplexe Funktion w = w(z1, z2) = u(z1, z2) + v(z1, z2)j in G3 hyperanalytisch ist, sind, dass u und v in G4
die eindeutigen ersten partiellen Ableitungen bezüglich
z1,z2 , 1, 2, besitzen (1) und diese Ableitungen bei z1= 1 die Gleichungen (CRD im Raum) erfüllen (2).
Die Gleichungen (CRD im Raum) werden wir als Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen im RAUM auffassen.
Wir betrachten diese Definition immer nur im Zusammenhang mit notwendiger Bedingung
des Überganges z1= 1 ,
wenn partielle Ableitungen selbstverständlich von 1
abhängen.
Es sei extra betont, dass man hierbei die richtige Berechnungsfolge (Algorithmus) beachten soll, und zwar, zuerst berechnet man partielle Ableitungen im vierdimensionalen quaternionischen Raum und danach setzt man z1= 1 in denen und nur dann prüft,
ob sie das System (CRD im Raum) erfüllen. Wie es scheint , könnte man alles vereinfachen und die vierte quaternionische Dimension schon am Anfang bei der ersten Festlegung von w (a) unter Einsetzten von z1= 1 aus der Betrachtung ausschliessen und dann partielle Ableitungen berechnen u.s.w. Anders gesagt, könnte man diese Dimension überhaupt nicht betrachten, weil sie im Endergebnis verschwindet. Doch, die vierte quaternionische Dimension muss am Anfang erhalten bleiben, denn es ist unmöglich, ohne sie die eindeutige Division in (AD) zu bestimmen und die eindeutige quaternionische Ableitung und entsprechend die Beschreibung statischen Feldes zur Folge zu haben.
In diesem Zusammenhang sei daran erinnert, dass in dreidimensionalem Raum keine eindeutige Divisionsoperation existiert.
Sobald vierte quaternionische Dimension diesen Anfang geschaffen hat, verschwindet sie, indem sie die eindeutige physikalische Realität, und zwar ein statisches Feld im dreidimensionalen Raum " materialisiert ".
Einen solchen Algorithmus nennen wir die "Materialisation des dreidimensionalen Raums".
An diese Interpretation gleichklingend kommen in den Sinn unwillkürlich die folgenden geheimnisvollen Worte aus der Bibel:
"Denn seine unsichtbaren [Eigenschaften] werden seit Erschaffung der Welt deutlich gesehen, da sie durch die gemachten Dinge wahrgenommen werden..." [Römer 1:20]
oder "... so dass das, was gesehen wird, aus Dingen geworden ist, die nicht in Erscheinung treten." [Hebräer 11:3].
Wir können weiter im Abschnitt 5 ( Beispiel 1) sehen, dass es für zwei Funktionentypen ein besonderes Resultat gibt. Man braucht hier, die vierte quaternionische Dimension nicht gegen Null am Ende gehen lassen, um das System (CRD im Raum) zu erfüllen. Diese Funktionen sind eine Konstante (entspricht einem homogenen Feld im dreidimensionalen Raum) und die 1-te quaternionische Potenz (entspricht einem linearen Feld im dreidimensionalen Raum). Dies bedeutet, dass in Punkten dieser materiellen Felder parallele ("erschaffende, vierte ") nicht-materielle Dimensionen existieren.
4. Hyperanalytische Fortsetzung der analytischen Funktionen.
Hier kann man schon einen allgemeinen Satz formulieren, der als Satz über hyperanalytische Fortsetzung der analytischen Funktionen auf den dreidimensionalen quaternionischen Raum zu bezeichnen ist.
Satz 1.
Jede, in irgendeinem Gebiet G2 der komplexen Ebene definierte, analytische Funktion w (z) kann mittels des Ersetzens ihr komplexes Argument z = x0 + x2 j G2 durch hyperkomplexes a = x0+ x1 i + (x2 + x3 i) j = z1+ z2 j G4 auf das Gebiet G3 des dreidimensionalen quaternionischen Raumes als hyperanalytische Funktion w (a) fortgesetzt werden, wobei G2 G3 G4,
so dass G3 aus G4 bei z1= 1 und G2 aus G3 bei z2= 2 folgen.
Wie oben gezeigt,entspricht jeder hyperanalytischen Funktion w (a) eindeutig eine analytische Funktion w (z) und umgekehrt, weil sich während des umkehrbaren Übergangs vom quaternionischen Raum zur Ebene, d.h. vom quaternionischen "a" zum komplexen "z" und umgekehrt, der Funktionstyp "w" nicht ändert. Die Klassen sowohl der hyperanalytischen als auch der analytischen Funktionen bestehen bei derart Umwandlungen des Arguments aus identischen Funktionen . In diesem besteht der Sinn des Beweises vom Satz 1.
Also, der bewiesene Satz ergibt einen einfachen Algorithmus, mit dem man alle hyperanalytischen Funktionen aus den analytischen durch direktes Ersetzen von unabhängiger komplexer Variabler im Ausdruck der analytischen Funktion durch analoge hyperkomplexe Variable (ähnlich dem Übergang zwischen Gerade und komplexen Ebene) erhalten kann. Solche hyperanalytischen Funktionen können ebensoviel stationäre physikalische Felder im Raum wie die analytischen Funktionen in der Ebene darstellen. Wir begrenzen uns hier auf diese für die Beschreibung der stationären Felder im Raum prinzipiellen Ergebnisse, führen hier einige allgemeine Bemerkungen nicht an und gehen nun zu den einigen Beispielen und sog. "Mejlikhzhons Resultat" auf der Seite 2 über.
© 2007. Michael Parfenov.  parfenm@gmx.de |
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