Erklärungen und Bemerkungen zur Verteilungstheorie

.....(×)
Es sei betont, dass alle Behauptungen begründet und mathematisch bewiesen in [ 1,2,21 ] sind. Sie werden hier in Anlehnung an diese Arbeiten angeführt und dabei gehen wir nicht ins Detail. Wir verweisen dafür den Leser auf diese Arbeiten.

.....(××)
Siehe Literaturverzeichnis in [ 1,2,21 ].

Die Funktionen f0(m) und h(m) hängen nur implizit von E ab.
Es ist zu bemerken, dass die Grenzfunktionen f0(m) explizit unabhängig von E sind. Ersetzt man a(m) und b(m) in ( K ) durch A(m, E) = a(m) · ß(E) und B(m, E) = b(m) · ß(E), so erhält man wiederum keine explizite Abhängigkeit des f0(m) von E, weil der Beschleunigungskoeffizient ß(E) im Ausdruck rechts in ( K ) gekürzt wird. Es gibt keinen Widerspruch hier, da dieses Modell im Prinzip nur diejenigen Verteilungsveränderungen beschreibt, die durch irreversible Strukturveränderungen bedingt werden. Die reversiblen Veränderungen der (nach m) Gleichgewichts-Dichtefunktion f0(m) sind implizit zu berücksichtigen. Die Anfangsfunktion h(m) ist hier der ähnliche Fall.

In der Praxis ist die "Anfangsfunktion" h(m) bei solchen Test- oder Ausnutzungsbedingungen zu bestimmen, bei denen die Evolution des f(m, t, E) prognostiziert werden muss. Danach kann die "Endfunktion" f0(m) aus (L) definiert werden. Dazu zeigen wir später eine praktische Methode. Aus diesen Erwägungen heraus kann man im Prinzip unter Benutzung dieser Theorie das ganze Verhalten der "Nichtgleichgewichts - Schweife" im Laufe der Zeit vorhersagen. In der Praxis ist es oft zu genügen, die reversiblen Veränderungen der f0(m) und h(m) nur einmal qualitativ zu schätzen und im folgenden zu benutzen.

Die Lösung der VFPK-Gleichung erfolgt mit Hilfe der Trennung der t,m-Variablen und unter Benutzung der allgemeinen Theorie der speziellen Funktionen der mathematischen Physik.
Nach der Trennung der Variablen t und m, d.h. Darstellung von f(m, t, E) in der Form f(m, t, E) = M(m, E)·T(t, E) ergibt sich eine einfache Beziehung für T(t, E) :

T(t, E) = T0(E) exp [-r (E) t]

und läuft der von m abhängige Teil M(m, E) auf eine Lösung einer verallgemeinerten Gleichung [ 17 ] des hypergeometrischen Typs

M''(m, E) + (ÛB)M'(m, E) + (ÔB2)M(m, E) = 0

hinaus, wobei Û = 2B'(m, E) - A(m, E)  und  Ô = B(m, E)[B''(m, E) - A'(m, E) + r (E)]. Alle Ableitungen (') werden hier nach m gemeint und r (E) ist eine Trennungskonstante. Diese Gleichung ist eine lineare homogene Differentialgleichung 2-ter Ordnung.
Die Gleichungen dieses Typs definieren eigentlich alle [ 17 ] bekannten Klassen der speziellen Funktionen der mathematischen Physik und dabei genügt es, den Grad der Polynome B(m, E) und Ô nicht größer als zwei und des Polynoms Û (entsprechend A(m, E)) nicht größer als eins zu betrachten. Diese Grade von A(m,E), B(m,E) in der Gleichung ( K ) stimmen mit den Graden von Polynomen in der pearsonschen Gleichung ( P ) vollkommen überein. Wir legen diese Informationen dem weiteren zugrunde und somit wird es (angesichts der obigen Definitionen von A(m, E) und B(m, E)) ersichtlich, dass die Gleichung (K) die Pearsonsche Gleichung (P) tatsächlich ist. Die allgemeine Theorie [ 17 ] betrachtet ein weiteres Verfahren der Vereinfachung solches Gleichungstyps durch Einsetzen von M(m, E) = g(m)·y(m, E) in die vorherige Gleichung. Die Standardmethode zur Bestimmung der gesuchten Funktion g(m) führt [ 2 ] auf die Gleichung

(P)[B(m, E)·g(m)]' = A(m, E)·g(m) ,

die mit der Gleichung (K) wiederum übereinstimmt und somit wird die gesuchte Funktion  g(m) eindeutig als  f0(m),d.h. eine der pearsonschen Dichtefunktionen, bestimmt.

Der nachfolgende Einsatz von M(m, E) = f0(m)·y(m, E) ergibt eine vereinfachte Differentialgleichung der 2-ten Ordnung

(VGl_2)B(m, E)·y''(m, E) + A(m, E)·y'(m, E) + r(E)·y(m, E) = 0 ,

die man als die "verallgemeinerte" Gleichung des hypergeometrischen Typs (weiter mit Farbe) bezeichnen kann . Eine k-te spezielle Lösung dieser Gleichung ist ein Polynom yk(m, E) des sog. hypergeometrischen Typs k-ten Grades in m. Das wirkt natürlich mit einer entsprechenden Konstante rk(E) in Gleichung (Gl_2) zusammen. Sie wird weiter durch (VTE) dargestellt.
Dieses Polynom wird nach der verallgemeinerten Rodrigues-Formel, die eine Abhängigkeit von E berücksichtigt, definiert :

(VR)yk(m, E) = ( bk f0(m) )·[ Bk(m, E)·f0(m) ] ( k ) , k = 0,1,2,3, usw.,

wobei ( k ) eine Ableitung k-ter Ordnung nach m und bk eine beliebige Normirungskonstante bezeichnet. Will man in dieser Formel ß(E) explizit darstellen, so lautet diese Formel

(VRE)yk(m, E) = ßk(E)·( bk f0(m) )·[ bk(m)·f0(m) ] ( k ) = ßk(E)·yk(m) ,

wobei yk(m) ein übliches [ 17 ] Polynom des hypergeometrischen Typs ist.

Die Polynome yk(m, E) bilden ein Orthogonalsystem bezüglich des Gewichtes f0(m) auf dem Intervall [a, b] :

(VORT) yj(m, E)  yk(m, E) f0(m) dm = dk2(E)·jk ,

wobei jk das Kroneckersymbol ( =1 für j = k und =0 für j k ) bezeichnet und dk(E) eine von E abhängige Norm des Polynoms yk(m, E) ist. Nach dieser Formel wird sie mit gewöhnlicher Norm dk des Polynoms yk(m) durch die Beziehung

(VNE)dk2(E) = ß2k(E) ·dk2

verbunden.

Eine k-te Lösung entspricht einem bestimmten Wert der Trennungskonstante

(VTE)rk (E) = -kA'(m, E) - ½k(k-1) B''(m, E) = -ß(E)·[ka'(m) + ½k(k-1)b''(m)] = -ß(E)·rk > 0 .

Aus dem Dargestellten folgt eine allgemeine Lösung von (VFPK) :

(L0)f ( m, t, E ) = f0(m)·Ck(E) · yk(m, E) · exp[ -rk(E)·t ],

wobei Ck(E) Fourier - Koeffizienten sind, die man mit Hilfe von Anfangsdichtefunktion f ( m, 0, E ) = h(m) definiert :

(VFE)Ck(E) = dk-2(E)· h(m) yk(m, E) dm = ß-k (E)·dk-2  h(m) yk(m) dm = ß-k (E)·Ck .

Die Lösung (L0) muss als eine Dichtefunktion auf eins normiert werden. Dabei stellen wir das 0-te Glied der Entwicklung getrennt dar:

(VNO) f(m, t, E) dm = C0b0·  f0(m) dm + Ck(E)·exp [-rk·ß(E)·t ]·  yk(m, E) f0(m) dm = 1 .

Aus der Orthogonalitätsbedingung (VORT) bei yj(m, E) = y0(m, E) = b0 = const(m) wird es ersichtlich, dass für jedes E und t das letzte Integral in (VNO) und folglich die ganze Summe gleich 0 sind. Daraus unter Berücksichtigung der Tatsache, dass die Gleichgewichts - Dichtefunktion f0(m) auf eins normiert ist, kommen wir zum Schluß, dass die notwendige Normierungsforderung (VNO) für jeden Zeitpunkt und jeden Beschleunigungskoeffitient ß(E) zu erfüllen ist , wenn das Verhältnis C0b0 = 1 gilt.

Unter Anwendung von diesem und denjenigen Verhältnissen, in denen  ß(E) explizit dargestellt wird, und zwar von Verhältnissen (V(erallgemein.)RE), (VTE),(VFE), (VNE), ergibt sich eine folgende Form der allgemeinen Lösung von (VFPK)

(L1)f(m, t, E) = f0(m) · { 1 + Ck·yk(m)·exp [-rk·ß(E)·t ] }.

Dabei sind Ck, yk(m), rk gewöhnliche, von E unabhängige Grössen, die sich aus den obigen verallgemeinerten Formeln bei ß(E) = 1 ergeben.

Es ist sinnvoll, anderseits zu verdeutlichen, warum der Grad der Polynome a(m), A(m,E) nicht größer als 1 und der Grad der Polynome b(m), B(m,E) nicht größer als 2 sein müssen. Nach dem Satz von Weierstrass über polynomische Approximation der stetigen reellen Funktionen kann (××) die Pearsonsche Gleichung (P) verallgemeinert aufgeschrieben werden:

(VP_k) f0'(m)  f0(m) = (x0 + x1m + ... + x k-1m k-1 (y0 + y1m + y2m2 + ... + y km k) .

Das Polynom im Nenner besitzt den Grad k . Wie bekannt (××), gilt die folgende allgemeine Behauptung:
Ist die Belegungsfunktion f0(m) eine Lösung von (VP_k), so sind die Rodrigues-Polynome (VR) einzige polynomische Lösungen einer entsprechenden linearen homogenen Differentialgleichung k-ter Ordnung (schematisiert):

(Gl_k)dk(m)·y (k)(m)+dk-1(m)·y (k-1)(m)+ .....+r·yk(m) = 0,

wobei dk(m) ein Polynom k-ten Grades ist. (Ohne Einschränkung der Allgemeinheit wird ß(E)= 1 betrachtet.)
Die Gleichungen (Gl_k) k-ter Ordnung [ 2 ] würden sich ergeben, wenn man die in (KG) eingeführte Taylorentwicklung bis auf Potenzen der höheren als 2 Ordnung (z.B. k=3,4...) in n beschränken würde. Bei den "schnelleren" Prozessen könnte das nützlich sein. Bei der Lösung von (VFPK) haben wir (Gl_k) als (VGl_2) bekommen, was bei ß(E)= 1 die folgende Gleichung

(Gl_2)b(m)·y''(m) + a(m)·y'(m) + r·y(m) = 0

ergibt. Aus dem Vergleich der Gleichungen (Gl_k) und (Gl_2) folgt, dass d2(m) = b(m) und d1(m) = a(m). Mit anderen Worten ist im Falle der (VFPK)-Gleichung k=2, ergibt die Gleichung (VP_k) die Pearson-Gleichung und ist der Grad der Polynome a(m), A(m,E) nicht größer als 1 und der Polynome b(m), B(m,E) nicht größer als 2.

Weil der Grad des Polynoms b(m) nicht größer als zwei und des Polynoms a(m) nicht größer als eins sein kann, ergeben sich nur folgende prinzipielle Möglichkeiten der Darstellung von b(m) : (N) b(m) = 1, (G) b(m) = m und (B) b(m) = 1 - m2. Bei angegebenen Werten von b(m) folgen aus der Gleichung (K) als Lösungen bis auf eine multiplikative Konstante die entsprechenden Gewichtsfunktionen : (N) f0H(m)=exp(-m)2; (G) f0L(m)=mp·exp(-m) oder (B) f0P(m)=(1-m)p·(1+m)q, die sog. klassische Orthogonalpolynome [ 17 ] : (N) von Hermite Hk(m), (G) von Laguerre Lkp(m) und (B) von Jacobi Pk(p,q)(m) durch (VR) bei ß(E) = 1 erzeugen. Die Definitions- und Orthogonalitätsintervalle sind dabei (N) (-,+), (G) (0,+ ) und (B) (-1,+1).
In der vollständigen, d.h. auf eins normierten Form sind diese Gewichtsfunktionen in der angewandten Statistik als (N) Normal-, (G) Gamma- und (B) Beta-Dichtefunktionen bekannt, die hier mit f0N(m), f0G(m) und f0B(m) bezeichnet werden. Ähnlich sind Dichtefunktionen fN(m,t,E), fG(m,t,E) und fB(m,t,E) sowie die anderen entsprechenden Grössen bezeichnet. In den allgemeinen Formeln notieren wir diese auf eine vereinte Weise als f0(N,G,B)(m) und f(N,G,B)(m, t, E) sowie yk (N,G,B)(m) usw.

Die Analyse zeigt, dass die eindeutige Lösung von (VFPK) mit allen Grenz-, Existenz- und Eindeutigkeitsbedingungen nur dann möglich ist, wenn die Grenzen a und b unerreichbar sind.
Bekanntlich existiert eine der Forderung (ORT) äquivalente Form der Orthogonalitätsforderung [ 17 ]:
(ORT1)b(m) f0(N,G,B)(m) mk |m=a,b = 0 ,   k=0,1,2,...
woraus die üblichen Orthogonalitätsbedingungen (Beschränkungen) p > -1 und q > -1 für klassische Polynome Lkp(m), Pk(p,q)(m) folgen.

Es ist offenbar, dass die Funktionen f0 (L,P)(m) an den Grenzen a,b gegen das Unendliche gehen können, wenn sich p oder q im Intervall  0 > p,q > -1 befinden. Im Fall (G), z.B., gilt f0L(m)=m-|p|·exp(-m) + bei 0 > p > -1 und m a=0. Das kann auf die Akkumulation der Objekte an solchen Grenzen führen, d.h. können solche Grenzen zu den erreichbaren ( Klassifizierung von W. Feller [ 18 ] ) Grenzen werden. Um diese Möglichkeit auszuschliessen, stellen wir folgende Forderung auf : p,q > 0. Dabei gelten: f0 (L,P)(m) 0 bei  m  a,b und verfügen deshalb diese Dichtefunktionen mindestens über ein Maximum in (a,b), weil sie als Wahrscheinlichkeitsdichte nicht kleiner als 0 in (a,b) sind.
Davon ausgehend dürfen wir behaupten, dass die im Rahmen unserer Aufgabe "wirklichen" Funktionen f0 (N,G,B)(m) mindestens über ein "richtiges" Maximum verfügen und an den Grenzen a,b des Definitionsbereiches gegen Null gehen müssen. Daraus folgen die Forderungen p > 0, q > 0 fur die Polynome Lkp(m), Pk(p,q)(m) und Funktionen f0 (L,P)(m) sowie entsprechende Forderungen für die Parameter der normierten Gamma- und Beta-Dichtefunktionen f0 (G,B)(m). Man kann z.B. die folgenden normierten Formen benutzen:
Gamma-Dichtefunktion:    f0G(m) = [ G-1( g )·hg ]·mg-1·exp(-hm ),    bei g > 1 (entspricht p > 0 in (G) f0L(m) und Lkp(m)), m  [0,+). Die Abszisse des Maximums ist (g-1)h usw.
Beta-Dichtefunktion:   f0B(m) = [G(g+h)·G-1(g)·G-1(h)]·mg-1·(1-m)h-1    bei g,h > 1 (entspricht p,q > 0 in (B) f0P(m)=(1-m)p·(1+m)q und Pk(p,q)(m)), m  [0,1]. Die Abszisse des Maximums ist (g-1)(g+h-2) usw. In diesen Ausdrücken mit G ist bekannte Gamma-Funktion [ 17 ] bezeichnet .
Wir beschränken uns auf diese Vorstellungen von den G- und B-Dichtefunktionen, ohne uns in Details zu verlieren, da die Hauptsache die Normalverteilung ist.

Die Analyse zeigt ...
Auf Grund der im Abschnitt 3 dargelegten physikalischen Vorstellungen erweist sich das Problem der Erforschung vom Nichtgleichgewichts - Verteilungsverhalten als Cauchy-Anfangswertproblem für die Gleichung (VFPK) mit den Anfangsbedingung f(m, 0, E) = h(m) und zusätzlichen Limesbedingung (GB1)   f(m, t, E) = f0(m). Da (VFPK) eine Gleichung des parabolischen Typs ist, müssen diese Bedingungen (bezüglich t) durch weitere Bedingungen bezüglich m ergänzt werden [ 18, 19 ] :

G1[ f(a, t) , - mf(m, t)|m = a ] = 0     und   G2[ f(m2, t) , + mf(m, t)|m = b ] = 0 ,

wobei Funktionen G1 und G2 einfache lineare Funktionen bezüglich f(m, t) und mf(m, t) sind.
In den Hauptzügen teilen wir nach der Klassifizierung von W. Feller [ 18 ] alle Grenzen in erreichbare und unerreichbare ein. Der erste Teil (×) von möglichen Typen erreichbarer Grenzen steht im Widerspruch zu notwendiger Existenzbedingung allgemeiner Lösung von Gleichung (K) und der restliche Teil mit der Eindeutigkeitsforderung für die Lösung von (FPK). Deswegen bleibt es lediglich, die unerreichbaren Grenzen in Betracht zu ziehen.

Möglichkeiten der Darstellung von b(m)..
Anfänglich nimmt man b(m) = 1, b(m) = (m - a) oder b(m) = (b - m)(m - a) an, woraus sich angeführte Formeln b(m) = 1, b(m) = m oder b(m) = 1 - m2 in (K) durch eine lineare Ersetzung der unabhängigen Variablen m ergeben.

Die wichtigste Rolle der pearsonschen Dichtefunktionen f0(m).
Eben Pearsonsche Dichtefunktionen f0(m), wie oben gezeigt, bestimmen auf einem entsprechenden Orthogonalitätsintervall (a,b) durch die Gleichung (VR) eindeutig einen konkreten Charakter der Polynome des hypergeometrischen Typs yk(m, E) und daraus zusammen mit der Anfangsbedingung f(m, 0, E) = h(m) durch die Berechnung der Fourierkoeffizienten Ck(E) die Lösung von (VFPK) und ganze Dynamik der Nichtgleichgewichts-Dichtefunktionen f(m, t, E).

..als Lösungen..
Dabei werden a(m), b(m) und rk durch folgende Ausdrücke bestimmt :(N) a(m)= - m, b(m)=1 und rk= k; (G) a(m)= 1+p-m, b(m)=m und rk=k oder (B) a(m)= q-p-(p+q+2)m, b(m)=1-m2 und rk=k·(k+p+q+1)

..gibt es vom Standpunkt der im Bereich tnormal geltenden Mechanismen der Parameterstabilisierung aus drei Möglichkeiten für die Verteilungen:

Eine Instabilität der Parametermesswerte kann durch zufällige Störungen verursacht werden. Wenn es keine Störungen gibt, so bleibt der Parameter stabil und ist keine kompensierende Regelung nötig. Dieser ist ein idealer Fall. Es gibt jedoch oft im Prinzip keine Regelung. Man nennt solche Parameter nicht regulierbar. Wenn es die Störungen gibt, dann können diese durch eine entsprechende Regelung kompensiert werden, damit der Parametermesswert stabil bleibt. Dabei rechnet man solche Parameter den regulierbaren zu.
Im Prinzip kann jeder messbarer Objektparameter entweder den regulierbaren Parameter, oder den nicht regulierbaren zugerechnet werden. Eine dritte Möglichkeit existiert nicht. In [ 20 ] wurde gezeigt, dass (unter meistens geltenden Bedingungen)
(a) der Parameter des Objektes normalverteilt ist , wenn dieser Parameter nicht regulierbar ist; (b) der Parameter des Objektes logarithmisch normalverteilt ist, d.h. es gibt eine Normalverteilung vom Logarithmus des Parameters, wenn dieser durch die laufende messbare Abweichung von dem zu stabilisierenden Wert regulierbar ist; (c) der Parameter ist als eine Delta-Funktion (ein besonderer Normalverteilung-Grenzfall) verteilt, wenn der Parameter von sich selbst regulierbar ist.

Obwohl die G- und B-Verteilungen alle Eigenschaften und Vorteile besitzen, um imstande zu sein, die anomalen Erscheinungen genauso vollwertig wie Normalverteilung beschreiben zu können, gibt es Unterschiede zwischen diesen. Der Hauptunterschied besteht darin, dass diese Verteilungen die Zufallsvariablen als Summen von Quadraten der zugrunde liegenden Zufallsgrössen so oder anders betrachten. In der Praxis sind G- und B-Verteilungen entweder ein besonderer oder ein seltener Fall .

..die Gleichung (FPK) auf verschiedene Fachbereiche angewandt wurde.
Allgemeine mathematische Aspekte der Aufgabe für die Gleichung (FPK) mit Limesbedingung (GB1) wurden in vielen Arbeiten betrachtet. Die analogen Formeln des Typs (L0), aber ohne Berücksichtigung der äußerlichen Bedingungen E, d.h. die Formeln des Typs

f ( m, t) = f0(m)·Ck · yk(m) · exp[ -rk·t ],
sowie die aus dieser Formel bei t = 0 folgenden Anfangsdichtefunktionen

f ( m, 0 ) = f0(m)·Ck · yk(m)
kann man z.B. in der Fluktuationstheorie für Funkgeräte, in den biologischen Anwendungen, bei der Analyse Brownscher Bewegung usw. antreffen.(××) Andererseits war die letzte Formel zum erstenmal von V.I. Romanovskij (siehe z.B. Literatur in [ 21 ] als eine der Gram - Charlier - Reihe ähnliche Verallgemeinerung der Pearsonschen Dichtefunktionen erhalten.
Es sei gesagt, dass wir nicht alle Verweise anführen und auf keinen Fall die Prioritätsfragen berühren wollen. Wir systematisieren nur im Rahmen der allgemeinen Theorie von anomalen Erscheinungen alle uns bekannten bedeutsamen Ergebnisse, um eine unumstössliche Grundlage zur Diskussion über die "Zeitmaßstäbe" aufzubauen.

..Mellersche Formel.. .
Unter Berücksichtigung von Abhängigkeit von E (d.h. ß(E) > 1 ), und zwar unter Benutzung des Überganges  t ß(E)·t  in der bekannten [ 13 ] Mellerschen Formel ergibt sich verallgemeinert

[Hek(m)·Hek(x) k! ]·  k·ß(E) = exp(m22) ·(1 -  2ß (E)) ·exp [- (m - x ß (E) )2 2(1 -  2ß (E))],

wobei    = exp ( -t ) ,    ß (E) = exp [ -ß(E)·t ] usw.

Dazu verwendet man ...
In allgemeinen Zügen geht es folgendermaßen vor. Unter Berücksichtigung der Normierungsbeziehung kann man zuerst die Gleichung (N11) in der Form mit reeller Zeit tanomal

(N11a)DN( tanomal ) = DN( tanf )·exp [-2(tanomal - tanf )·taRel- 1]

darstellen und dann den Wert taRel der Relaxationskonstante ganzer Nichtgleichgewichts - Gesamtheit (Stichprobe) erhalten, und zwar den Wert

taRel = 2(tanomal2 - tanomal1) [ ln DN( tanomal1) - ln DN(tanomal2) ] ,

wobei DN(tanomal1) und DN(tanomal2) zwei Messwerte von DN(tanomal) zu den Zeitpunkten tanomal1 und tanomal2 sind. Diese Punkte wählt man beliebig, aber eben am Anfang des Zeitmaßstabs tanomal und unter Bedingung  tanomal2>tanomal1>tanf.
Um eine höhere Genauigkeit zu erreichen, kann man eine grössere Anzahl der Zeitpunkte betrachten und dann die Methode der linearen Regression zur Schätzung des taRel benutzen. Danach kann man eine sinnfällige Bedingung für die Grenze tanomalENDE des Anomalmaximums benutzen :

DN( tanomalENDE ) = DN( tanf )·exp [-2(tanomalENDE - tanf )·taRel- 1] 0.1·DN( tanf )

woraus ergibt sich endlich

(N11b)tanomalENDE tanomalENDE - tanf (0.5·ln10)·taRel .

...die weiteren Fälle auch möglich sind.
NG - Schweife können, z. B., an der linken Seite von Verteilung existieren.Die Abb. 4a stellt ein solches [ 1 ] Beispiel für keramische Kondensatoren KM-4-H30 dar. Auf der Abszisse sind die in einer Stichprobe beobachteten Grössen von der Spannung des Ionisationsanfangs UA und auf der Ordinate die entsprechenden kumulativen Häufigkeiten markiert.
   Im Fall der angeführten Verteilungsform ermittelt man graphisch den Anteil (1-q) [ 3 ] mit hinreichender Genauigkeit durch den Untergrenzpunkt S1 der gezeichneten geradlinigen Approximation des G - Verteilungsabschnittes, und zwar mit Hilfe des offenbaren Verhältnisses S1 q. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung solcher Form ergibt sich bei der Achsenspiegelung der in Abb. 2 dargestellten Dichtefunktion fN(m, t) an Spiegelachse m = 0. Der Grenzpunkt Ua,Gr = 375 V zwischen den KB und ZB wurde durch den dem S1 = q = 10 % entsprechenden Punkt auf der Abszisse graphisch bestimmt. Die meisten Kondensatoren, deren Messwerte Ua sich in KB befanden, fielen während der nachfolgenden Einbrennungstests aus. In der Stichprobe von den zum ZB gehörenden Kondensatoren gab es dagegen keine Frühausfälle.

Die Effektivität der Diagnostik wurde durch nachfolgende Tests vollständig bestätigt.

Verteilung A :
Stichprobenumfang aus KBA : 40 Silicium-Dioden 2D106A, die aus einer "Grundgesamtheit" von 1957 Dioden aussortiert wurden. Stichprobenumfang aus ZBA - gleich. Meßstrom für rd : I = 10-2A.
Zeitraffende Tests durch Temperaturwechsel in Luft. Ein voller Zyklus: Das Verbleiben innerhalb einer Stunde bei T = - 60 0C und innerhalb einer Stunde bei T = + 130 0C mit Übertragungszeit weniger als 1 Minute. Insgesamt wurde 63 Zyklen im Wechsel gemacht, um alle Frühausfälle auszusieben.

Verteilung B :
Stichprobenumfang aus KBB : 42 Silicium-Transistoren 2T208, die aus einer "Grundgesamtheit" von 31564 Transistoren aussortiert wurden. Stichprobenumfang aus ZBB : 70 Transistoren. Meßstrom für rd (im Stromkreis des Basis-Emitter Junctions) : I(b-e) = 10-3A.
Tests : Vibrationen und Linearbeschleunigungen mit periodischer Prüfung aufs Entstehen von Kurzschlüssen und Unterbrechungen des inneren Stromkreises, Öffnungen der Transistorengehäuse und Messungen der Zugkräfte zum Unterbrechung des inneren Kontaktes.

..ermöglicht das obige Kriterium die kurzfristigen zerstörungsfreien und nicht kostspieligen Screening-Tests...
Um Frühausfälle der technischen Objekte während der Nutzungsphase vermeiden zu können, ist die Aufspürung der Komponenten und Zwischenprodukten mit latenten Defekten in Hinsicht auf die Genauigkeit, Dauer und Kosten vielfach effektiver als die dem eigentlichen Produktionsprozeß folgenden "aussiebenden" Einbrennungstests der Endprodukte. Nur zeitraffende Tests können hier konkurrieren, weil die Voralterungsmethoden unter Normalbedingungen nicht immer den (wegen der Qualitätsverbesserung größer werdenden) Zeitmaßstab tanomal umfassen können. Zeitraffende Tests bereiten aber große Schwierigkeiten, weil man durch sie sehr leicht zusätzliche Beschädigungen bewirkt. Am besten ist diagnostische Methodologie in Ergänzung und Richtigstellung der auf die Praxis angewandten Qualitätsregelkarten ( QRK ) zur Kontrolle und Lenkung von Prozessen bei industrieller (Serien-) Produktion von Produkten der erhöhten Zuverlässigkeit anzuwenden. Die Auswahl informativer Parameter erfordert vielfach kurzfristigere Bestätigungsprüfungen im Vergleich zu den Einbrennungstests der Endproduktion, weil nicht zufällige, sondern spezielle Stichproben von den aussortierten potentiell instabilen Objekten getestet werden können.
Es sei gesagt, dass sich die theoretische Begründung der 2- und 3- Grenzen von QRK, z. B. nach Shewart, in der Theorie der Nichtgleichgewichtsverteilungen in vollerem Maße findet.

Die Analyse zeigt, dass man den Raum informativer Parameter als eine Abbildung des Raums der Abmessungen latenter Defekte betrachten kann.
Der Physikalischen Kinetik nach werden die Keime neuer Phase (latente Defekte) durch die Abmessung (Zufallsvariable) a und die zu einer Volumeneinheit zugerechnete Dichtefunktion f(a, t), die der Fokker-Planckschen Gleichung genügt, beschrieben. Gleich erfüllen, wie oben gezeigt, die Nichtgleichgewichts - Dichtefunktionen fN(m, t) die FPK-Gleichung desselben Typs. Das zeugt davon, dass es im Prinzip eine Funktion m = m(a) gibt, mit deren Hilfe die FP - Gleichung für a in die FPK-Gleichung für m umgewandelt werden kann. Wir können daher den Raum informativer Parameter als eine Abbildung des "Raums der Keimabmessungen" betrachten.

..oben beschriebene Übergang...
Siehe Formeln (N4),(N11),(N12) oder (N18a),(N19a).

..bleiben die Form der Gleichgewichtsverteilungen...und folglich die Gleichgewichts - Varianz ... unveränderlich.
Tatsächlich gilt hier auf Grund der Gleichung (L1-c) für k = 2 und h(m) = f0(m) die Beziehung C2 = 0. Diese verursacht mit (N11), (N12) während des ganzen Zeitmaßstabs tnormal die von Nutzungsbedingungen unabhängigen Eigenschaften DN( t,E ) = 2·0·exp (-2ß(E)·t ) = 0 und DN( t,E ) = D0N = 1.

..des..vom m unabhängigen Fluktuationscharakters...
Der soz. Beitrag der einzelnen Werte m zur Instabilität der Gesamtheit von Objekten wird im Falle der Gleichgewichts - Dichtefunktion f0(m) gleichmäßig nach m verteilt. Im Punkt des Maximums von f0N(m) verfügt der relativ größere Anteil der Objekte über relativ kleinere Amplituden der Übergangswahrscheinlichkeiten und umgekehrt in Schweifbereichen von f0N(m) verfügt der relativ kleinere Anteil der Objekte über die relativ größeren Amplituden, so dass das Produkt ampl(m)·f0(m) unabhängig vom m konstant ist.

...ergibt sich eine allgemeine Formel..
Betrachtet man beispielsweise eine im KB liegende Schwelle ms, deren Überschreiten (z. B.  m > ms in Abb. 7 ) den Objektausfall zur Folge hat, so wird die Ausfallwahrscheinlichkeit oder Verteilungsfunktion der Lebensdauer [ 12 ] dieses Objekts als Funktion von t durch F(t) = f(m, t)dm ausgedrückt. Differenziert man diese Formel beiderseits nach t, so erhält man eine Dichte f(t) = tF(t) = tf(m, t)dm dieser Verteilung F(t). Unter Benutzung von (VFPK) läuft diese Formel auf eine allgemeine Formel für die Ausfalldichtefunktion f(t) :

(N24a)f(t) ß(E)·s(ms, t)

hinaus, wobei s(ms, t) = a(ms)·f(ms, t) - { m[ b(m)·f(m, t) ] }|m = ms eine Stromdichte der FPK-Gleichung an der Schwelle ms ist.  In Abb. 1 ist solch eine (aber bedingte) empirische Ausfallrate dargestellt.

Im Falle der Normalverteilung berechnet sich f(t), d. h. die Form des Anomalmaximums, wenn man fN(m, t) z. B. aus (N4) bei ß(E) = 1 und a(ms)= - ms, b(ms) = 1 in (N24a) einsetzt. Wir hoffen darauf, dass eine Methode der Berechnung der Ausfallrate f(t) im weiteren zu entwickeln ist. Nichtsdestoweniger kann man hier eine interessante Folge aus (N24) erhalten, die ihre Bestätigung in der Praxis in vollem Maße findet. Nach (GB2) ist s(m, t) im Verlauf der Zeit tnormal sehr klein und "unabhängig" von t, d. h. gilt s(ms, t) s0 = const(t). Daraus unter Benutzung von (N24a) erfolgt die Beziehung f(t) ß(E)·s0 = ß(E)·const(t), woraus zu erklären ist, warum die Ausfalldichte f(t) im Bereich tnormal konstant bleibt und nur von Ausnutzungsbedingungen abhängt.
Genauer genommen gilt dies bis sich die normierte Gleichgewichtsform von f0N(m) ändert und in die Nichtgleichgewichtsform umwandelt (Pfeile 3).

.....,die ihre Bestätigung in der Praxis in vollem Maße findet.
Die in Abb. 7a dargestellten Ergebnisse der Zeitraffungstests von integrierten Schaltungen CD4000 zeigen ( siehe Literatur in [ 1 ] ), dass die Ausfalldichte f(t) im Bereich tnormal im Laufe der Zeit konstant bleibt und nur von der Spannung (in Volts) der Stromquelle (Ausnutzungsbedingungen) abhängt. Frühausfälle des Anomalmaximums (s. Abb. 1) im Zeitmaßstab tanomal wurden vorher mittels der Hochtemperatur - Screening - Tests bei der Temperatur T = 250 0C und normalen Elektrobelastung während der 30 Stunden ausgesiebt. Deswegen entspricht der Punkt 100 Std. des Zeitanfangs in Abb. 7a dem Zeitpunkt tanomalENDE = 104 Std. der Abb. 1.

Zum Anfang des Verschleißmaximums...
Dies kann früher im Bereich tnormal passieren. Im Rahmen der phänomenologischen Theorie kann man nicht genauer sagen, wann die Evolution der Gleichgewichtsverteilung zum KB am Ende des Bereiches tnormal anfängt, aber sie endet relativ unverzüglich nach dem Anfang (ABB. 8) des Verschleißmaximums talt.

..expliziten Abhängigkeit von der Zeit ta..
In diesem Fall ändern sich physikalische Bedingungen um einen "zum Ausfall führenden" lokalen Bereich herum, so dass die mit diesem lokal-defekten Bereich "verbundene" Übergangsdichte u(mm,n) nun explizit (wie immer bei der physikalischen Umgebungsänderung ) von der Zeit t abhängig wird, d.h. u(mm,n) zu u(mm,n, t) wird. Während des Messintervalls tm (oder viel größerer Zeit, z.B. 0.01·tnormal bis 0.1·tnormal) kann man aber die Änderung der ganzen Objektstruktur im Vergleich zum Anfang dieser Zeitspanne für vernachlässigbar klein und deswegen die Übergangsdichte u(mm, n, t) für von der Zeit unabhängig auf jede solche Zeitspanne halten. Deswegen wird sich im Zeitmaßstab talt das Verhalten der Nichtgleichgewichts - Dichtefunktion f0(mm,ta) der Kolmogorowschen Gleichung (K) unterordnet, in der sich Koeffiziente a(m) und b(m) sehr langsam (nach dem PLG) im Laufe der Zeiz ta ändern. Der Gleichungstyp (K) bleibt ungeändert, aber a(mm) und b(mm) werden durch a(mm,ta) und b(mm,ta) ersetzt.

..befreite Funktionsinformation gemessen oder beobachtet werden..
Wir führen ein folgendes Beispiel für Beobachtung der befreiten Funktionsinformation mit Hilfe (wahrscheinlich) eines anderen Informationsträgers an.
Umfangreiche Erforschungen der Natur der Homöopathie haben gezeigt, dass bei ausreichend hohen Potenzen, wann es schon kein Molekül vom Arzneimittel ( Urtinktur ) im Lösungsmittel gibt, bleibt nichtsdestoweniger die Funktionsinformation des Arzneimittels, d. h. die Heilwirkung des verschwundenen Arzneimittels im Lösungsmittel erhalten.

Ein Zitat aus der AOK - Site.
ALTERNATIVE THERAPIEN. Homöopathie.
http://www.aok.de/bund/rd/136177.htm
"Wie wirkt die Therapie? Statistisch ist davon auszugehen, dass eine Verdünnung von D24 kein Molekül mehr aus der Urtinktur enthält. Trotzdem sind nach den Vorstellungen der Homöopathen solche hoch verdünnten Arzneien sogar wirksamer als die Urtinktur. Als eigentlicher Träger der Wirkung werden nicht die chemischen Bestandteile der Urtinktur angesehen, sondern eine Information, die diese Stoffe an das Lösungsmittel weitergegeben haben. Durch die stetige Verdünnung und das Schütteln soll sich diese Information von Schritt zu Schritt verstärken. Trotz vielfältiger Bemühungen ist es bisher noch nicht gelungen, das physikalische Prinzip zu entschlüsseln, auf dem die von den Homöopathen angenommene Information basieren könnte. Viele naturwissenschaftlich orientierte Ärzte halten daher die Wirkung der homöopathischen Medikamente eher für einen Placebo-Effekt - also für eine Wirkung, die nicht aus dem Medikament, sondern aus dem Umfeld der Behandlung und der Person resultiert." Und auch: "Die Homöopathie zählt nach den Regelungen des Krankenversicherungsrechts zu den besonderen Therapierichtungen."
Noch eine Bestätigung dieser alternativen Heilbehandlung.
H.Blog. Homöopathie & Forschung: Nachrichten aus der komplementärmedizinischen Forschung.
http://www.psychophysik.com/h-blog/?p=54
"Hier liegt uns nun der in Buchform publizierte vollständige HTA-Bericht vor, der zu der Schlussfolgerung gelangt "Die Wirksamkeit der Homöopathie kann unter Berücksichtigung von internen und externen Validitätskriterien als belegt gelten, die professionelle sachgerechte Anwendung als sicher. (Quelle: Forschende Komplementärmedizin 2006;13 (suppl 2):19-29.)"

Prof. Martin Lambeck: Eine Revolution der Physik? Die Unterstützung der Homöopathie..
http://www.gwup.org/skeptiker/archiv/2001/3/media/homoeopathie.pdf
"Können paranormale Phänomene physikalisch erklärt werden? Phänomene, welche die Physik nicht erklären kann (paranormale Phänomene, Psi-Phänomene), können zwar trotzdem existieren. Es müßte sich dafür aber eine neue bisher unbekannte physikalische Kraft oder eine neue physikalische Theorie finden lassen. Wenn die Behauptungen über diese Phänomene aber im Gegensatz zur bisherigen Physik stehen, können sie nicht existieren."
Siehe auch http://www.gwup.org/themen/



© 2007. Michael Parfenov. E-Mail parfenm@gmx.de [Nach oben]